Teorema del gradient

Plantilla:Complex La teorema de gradient, també conegut com la teorema fonamental de càlcul per a integrals de llínea, diu que una integral de llínea d'un camp de gradient pot ser evaluada simplement evaluant el camp escalar original en els punts extrems de la curva. La teorema és una generalisació del teorema fonamental de càlcul per a qualsevol curva en el pla o en l'espai (generalment $n$-dimensional) més que només en la recta real.

Siga $\phi :U\to ℝ$ en $U\subseteq {ℝ}^n$ una funció contínuament diferenciable i $\gamma$ qualsevol curva en $U$ que escomença en $𝐩$ i termina en $𝐪$ llavors

$\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }\phi (𝐫)\cdot \mathrm{d}𝐫=\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)$

(a on $\mathrm{\nabla }\phi$ denota el camp vectorial gradient de $\phi$).

La teorema del gradient implica que integrals de llínea de camps gradient són independents de les trayectòries. En física, esta teorema és una manera de definir una força conservativa. Per colocar $\phi$ com a potencial, $\mathrm{\nabla }\phi$ és un camp conservativo. El treball fet per forces conservativas no depén del camí seguit per l'objecte, només depén dels punts extrems com l'equació de dalt ho mostra.

Demostració

Si $\phi :U\to ℝ$ és una funció diferenciable en un subconjunt obert $U\subseteq {ℝ}^n$ i si $𝐫:[a,b]\to U$ és una funció diferenciable en l'interval tancat $[a,b]$ llavors per la regla de cadena multivariada, la funció composta $\phi \circ 𝐫$ és diferenciable en $(a,b)$ i

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\phi \circ 𝐫)(t)=\mathrm{\nabla }\phi (𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)$

per a tot $t\in (a,b)$. Ací $\cdot$ denota el producte intern usual.

Ara suponga que el domini $U$ de $\phi$ conté la curva diferenciable $\gamma$ en punts entrem $𝐚$ i $𝐛$ (orientat en la direcció de $𝐚$ a $𝐛$). Si $𝐫$ parametriza $\gamma$ per a $t\in [a,b]$ llavors

$\begin{array}{cc}\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }\phi (𝐮)\cdot \mathrm{d}𝐮& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{\nabla }\phi (𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}\phi (𝐫(t))\mathrm{d}t\\ & =\phi (𝐫(b))-\phi (𝐫(a))\\ & =\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)\end{array}$

a on la definició d'integral de llínea és utilisada en la primera igualtat i el teorema fonamental de càlcul és utilisat en la tercera igualtat

Eixemples

Eixemple 1

Suponga que $\gamma \subset {ℝ}^2$ és l'arc circular orientat en sentit horari de (5, 0) a (−4, 3). Utilisant la definició d'integral de llínea,

$\begin{array}{cc}\underset{\gamma }{\int }y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y& =\underset{0}{\overset{\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)}{\int }}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\mathrm{d}t\\ & =\underset{0}{\overset{\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)}{\int }}25(-{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)\mathrm{d}t\\ & =\underset{0}{\overset{\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)}{\int }}25\cos (2t)\mathrm{d}t={\frac{25}{2}\sin (2t)|}_0^{\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)}\\ & =\frac{25}{2}\sin (2\pi -2{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right))\\ & =-\frac{25}{2}\sin \left(2{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right)=-\frac{25(3/4)}{(3/4{)}^2+1}=-12.\end{array}$

Este resultat pot ser obtingut de manera més senzilla notant que la funció $f(x,y)=xy$ té gradient $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(y,x)$, per la Teorema del Gradient:

$\underset{\gamma }{\int }y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }(xy)\cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=xy{|}_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$

Eixemple 2

Per a un eixemple més abstracte, suponga que $\gamma \subset {ℝ}^n$ té punts extrems $𝐩$, $𝐪$, en orientació de $𝐩$ a $𝐪$. Per a $𝐮$ en ${ℝ}^n$, siga $|𝐮|$ la norma euclidiana de $𝐮$. Si $\alpha \ge 1$ és un número real llavors

$\begin{array}{cc}\underset{\gamma }{\int }|𝐱{|}^{\alpha -1}𝐱\cdot \mathrm{d}𝐱& =\frac{1}{\alpha +1}\underset{\gamma }{\int }(\alpha +1)|𝐱{|}^{(\alpha +1)-2}𝐱\cdot \mathrm{d}𝐱\\ & =\frac{1}{\alpha +1}\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }|𝐱{|}^{\alpha +1}\cdot \mathrm{d}𝐱=\frac{|𝐪{|}^{\alpha +1}-|𝐩{|}^{\alpha +1}}{\alpha +1}\end{array}$

Ací l'última igualtat se seguix per la teorema del gradient, ya que la funció $f(𝐱)=|𝐱{|}^{\alpha +1}$ és diferenciable en ${ℝ}^n$ si $\alpha \ge 1$.

Vore també

• Integral de llínea
• Integral de superfície
• Teorema de Green