Força conservativa

En un camp conservativo, el treball realisat per a anar del punt A a el punt B depén solament d'i de B: és independent de la trayectòria que s'utilise per a desplaçar-se entre abdós.

En física, un camp de forces és conservativo si el treball total realisat pel camp sobre una partícula que realisa un desplaçament en una trayectòria tancada (com l'òrbita d'un planeta) és nul. El nom conservativo es deu a que per a una força d'eixe tipo existix una forma especialment simple (en térmens d'energia potencial) de la llei de conservació de l'energia. Les forces que depenen solament de la posició són típicament conservativas. Un eixemple de força conservativa és la força gravitatoria de la mecànica newtoniana. Les forces depenents del temps o de la velocitat (per eixemple, la fricció o rozamiento) són típicament no conservativas. La majoria dels sistemes físics fora del equilibri termodinàmic són no-conservativos; en ells l'energia es dissipa per processos anàlecs al rozamiento.

Criteris de caracterisació d'una força conservativa

Pot demostrar-se que un camp és conservativo si presenta alguna de les propietats següents (de fet, si complix una d'elles, complirà les atres ya que matemàticament són equivalents en un conjunt obert simplement conexo):

Hi ha un camp escalar $V (𝐫)$ en:

a on

\nabla V (r)

és el gradient del camp escalar V(r).

El treball

a lo llarc d'un camí qualsevol L a través del camp de força depén solament dels punts inicial i final i no de la trayectòria. En particular, el treball per una curva tancada C és zero, també

El camp és simplement continu i complix la condició de integrabilidad:

Conservatividad local

Quan es considera el criteri (3) es deu tindre precaució, perque el camp de força pot existir, pero la rotació la fa no conservativa. L'eixemple més conegut és el conductor elèctric, a que el seu camp magnètic associat li'l representa com:

Encara que la condició integral es complix, no existix la derivada en el punt zero, per lo que la regió no és contínua. Llavors no es tracta d'un camp gradient, com pot distinguir de l'integral tancada d'un círcul unitari. El círcul unitari es parametriza per mig de

En això l'integral tancada és:

És un camp no conservativo, ya que integral a lo llarc d'una curva tancada com lo és una circumferència de radi 1 centrada en l'orige és diferent de zero.

Potencial

El camp escalar $V (r)$ del criteri (1) es diu potencial o energia potencial. El signe menys d'este criteri és una convenció i té un significat profunt, a pesar de que el seu significat va ser argumentat en el principi variacional de la mecànica lagrangiana i, pel moment, opera de forma voluntària. La base d'eixa convenció es pot aclarir per mig del següent eixemple: en la rodalia de la superfície terrestre està la massa m en un potencial gravitacional a una altura h=i baix una acceleració de la gravetat g > 0, aproximadament v(i)= + m g i. Pel sistema de coordenades en la superfície terrestre és positiu quan es dirigix cap a dalt, deu ser negatiu quan es dirigix cap a avall. Es calcula la força del primer criteri i s'obté:

Açò mostra que la força s'eixercix, tal com s'esperava, en direcció al centre de la Terra.

Demostració d'equivalència dels criteris

Existixen tres criteris equivalents per a determinar si un camp de forces és conservativo ((1), (2) i (3)). El primer criteri és sobre la definició d'un camp de forces conservativo; els atres dos són atres formulació del primer criteri. Moltes voltes el camp de forces està definit d'una forma "directa" a través del segon criteri. Aixina, es té que el treball en un camp conservativo és independent del camí.

Es té un camí tancat C en un camp conservativo, del punt 1 sobre el camí S1 al punt 2 després pel camí S2 de tornada al punt 1.

.

L'integral tancada sobre eixe camí serà:

Per a tots els camins S1, S2 esta integral seria S1 + (-S2) igual a zero, quan:

També seria:

açò és l'independència del camí recorregut i en açò es descriu les possibles definicions d'un camp conservativo.

El tercer criteri parla sobre la desaparició de la rotació d'un camp de forces conservativas. Pel primer criteri es té $𝐅 (𝐫) = - \nabla V (𝐫)$ i per a la rotació es té que

en lo que el primer i el tercer criteri resulten ser equivalents. Açò també és equivalent al segon criteri. Si $\nabla \times 𝐅 (𝐫) = 0$ , per mig del teorema de Stokes per a la curva tancada C, es té per a una superfície tancada A:

En lo que el treball torna a aparéixer i este des de la primera demostració es va obtindre que era independent del camí, per lo que es té finalment una igualació dels tres criteris.

Conservació de l'energia

En la mecànica clàssica es té que l'energia cinètica és: $T = \frac{1}{2} m 𝐯^{2}$ , a on v és la velocitat; de la segona llei de Newton, $𝐅 = m \cdot \frac{d 𝐯}{d t}$ per a masses m constants, l'energia pot ser descrita com: $E = \int_{t_{1}}^{t_{2}} 𝐅 [𝐫 (t), 𝐯 (t), t] 𝐯 (t) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} m \cdot \frac{d 𝐯 (t)}{d t} 𝐯 (t) d t .$ Tenim l'integral per al camí del punt 1 al punt 2

\int_{1, S 1}^{2} 𝐅 d 𝐫 = m \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d 𝐯 (t)}{d t} 𝐯 (t) d t

.

Per al costat dret de l'equació

m \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} 𝐯^{2} (t) d t) = \frac{1}{2} m 𝐯^{2} (t_{2}) - \frac{1}{2} m 𝐯^{2} (t_{1}) = T (t_{2}) - T (t_{1}) = T_{2} - T_{1}

Lo que significa que el treball total que es necessita per al moviment correspon al canvi en l'energia cinètica. Per al costat esquerre s'obté per mig de l'us de les propietats de la força conservativa

\int_{1, S 1}^{2} 𝐅 d 𝐫 = - \int_{1, S 1}^{2} \nabla V d 𝐫 = - [V (r_{2}) - V (r_{1})] = V_{1} - V_{2}

i en açò

T_{2} - T_{1} = - (V_{2} - V_{1}) = V_{1} - V_{2}

respectivament

T_{1} + V_{1} = T_{2} + V_{2}

que es referix directament a la conservació de l'energia. Les propietats de la conservació de l'energia són també la base, d'ahí que el camp conservativo du el seu nom, ací l'energia es conserva. Pero no solament el concepte de conservació va lligat a l'energia, també va lligat al de la massa, que en camps relativistes estan molt enllaçats.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Fuerza conservativa» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.