Gradient

Archiu:Gradient2.svg

En les dos imàgens anteriors, els valors de la funció es representen en blanc i negre.
El negre representa valors més alts i el seu gradient corresponent es representa en fleches blaves.

En anàlisis, particularment en càlcul vectorial, el gradient o vector gradient d'un camp escalar $f:{ℝ}^n⟶ℝ$ és un camp vectorial, denotat $\mathrm{\nabla }f$. El vector gradient de $f$ evaluat en un punt genèric $x$ del domini de $f$ indica la direcció en la qual el camp $f$ varia més ràpidament i el seu mòdul representa el ritme de variació de $f$ en la direcció de dit vector gradient.

El gradient es representa en l'operador diferencial nabla $\mathrm{\nabla }$ seguit de la funció (atenció a no confondre el gradient en la divergència; esta última es denota en un punt de producte escalar entre l'operador nabla i el camp, $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}$). També pot representar-se per mig de $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f$, o usant la notació $\mathrm{grad}(f)$.

La generalisació del concepte de gradient per a funcions vectorials de vàries variables és el concepte de matriu jacobiana.

En Derivades parcials introduïm la derivada parcial. Una funció z=f(x,i) té dos derivades parcials ∂z/∂x i ∂z/∂i. Estes derivades corresponen a cada una de les variables independents i poden interpretar-se com a taxes de canvi instantànees (és dir, com a pendents d'una llínea tangente). Per eixemple, ∂z/∂x representa la pendent d'una llínea tangente que passa per un punt determinat de la superfície definida per z=f(x,i), assumint que la llínea tangente és paralela a l'eix x. De la mateixa manera, ∂z/∂i representa la pendent de la llínea tangente paralela a l'eix i.

Definició

En matemàtiques, el ‘gradient’ és una generalisació multivariable de la derivada. Mentres que una derivada es pot definir solament en funcions d'una sola variable, para funcions de vàries variables, el gradient pren el seu lloc. El gradient és una funció de valor vectorial, a diferència d'una derivada, que és una funció de valor escalar.

De la mateixa manera que la derivada, el gradient representa la pendent de la recta tangente a la gràfica d'una funció. Més precisament, el gradient apunta als punts de la gràfica als quals la gràfica té un major increment. La magnitut del gradient és la pendent de la gràfica en eixa direcció.

Els components del gradient en coordenades són els coeficients de les variables presents en l'equació del espai tangente al gràfic. Esta propietat de caracterisació del degradat permet que es definixca independentment de l'elecció del sistema de coordenades, com un camp vectorial els components del qual en un sistema de coordenades es transformaran quan es passe d'un sistema de coordenades a un atre.

Es pren com a camp escalar el que s'assigna a cada punt de l'espai una pressió P (camp escalar de 3 variables), llavors el vector gradient en un punt genèric de l'espai indicarà la direcció en la qual la pressió canviarà més ràpidament. Un atre eixemple és el de considerar el mapa de llínees de nivell d'una montanya com a camp escalar, que assigna a cada parella de coordenades latitut/llongitut un escalar altitut (camp escalar de 2 variables). En este cas el vector gradient en un punt genèric indicarà la direcció de màxim inclinament de la montanya. Note's que el vector gradient serà perpendicular a les llínees de contorn (llínees «equiescalares») del mapa.

Si $f:{ℝ}^n\to ℝ$ és un camp escalar llavors el gradient de $f$ en $𝐫$ es definix com el camp vectorial $\mathrm{\nabla }f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ les components del qual són les derivades parcials del camp escalar, açò és:

$\mathrm{\nabla }f(𝐫)=(\frac{\partial f(𝐫)}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f(𝐫)}{\partial x_n}).$

Esta definició es basa que el gradient permet calcular fàcilment les derivades direccionals. Definint en primer lloc la derivada direccional segons un vector:

$\frac{\partial \varphi }{\partial n}\equiv \underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{\varphi (𝐫+ϵ\widehat{𝐧})-\varphi (𝐫)}{ϵ}$.

Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat pel vector unitari, dona la derivada direccional del camp escalar:

$\frac{\partial \varphi }{\partial n}=\widehat{𝐧}\cdot \mathrm{\nabla }\varphi$.

En la definició anterior, el gradient està caracterisat de forma unívoca. El gradient s'expressa alternativament per mig de l'us de l'operador nabla:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi =\mathrm{\nabla }\varphi$.

Interpretació

De forma geomètrica, el gradient és un vector normal (perpendicular) a la curva de nivell en el punt que s'està estudiant, cride's (x,i), (x,i,z), (temps, temperatura), etc. Alguns eixemples són: Considere una habitació en la qual la temperatura es definix a través d'un camp escalar, de tal manera que en qualsevol punt $(x,y,z)$, la temperatura és $\varphi (x,y,z)$. Assumirem que la temperatura no varia sobre el temps. Sent açò aixina, per a cada punt de l'habitació, el gradient en eixe punt nos donarà la direcció en la qual la temperatura aumenta més ràpit. La magnitut del gradient nos dirà cuan ràpit aumenta la temperatura en eixa direcció. Considere una montanya en la qual la seua altura en el punt $(x,y)$ es definix com $H(x,y)$. El gradient de $H$ en eixe punt estarà en la direcció per a la que hi ha un major grau d'inclinament. La magnitut del gradient nos mostrarà cuán empinada es troba la pendent.

Vore també

• Rotacional
• Divergència (matemàtica)
• Quatre gradient
• Matriu hessiana
• Gradient biaixat

Bibliografia

• Wilfred Kaplan. "Càlcul Alvançat". CECSA, imprés en Mèxic,editat en 1983.
• Watson Fulks. "Càlcul Alvançat". Editorial Limusa S.A, Mèxic, imprés en 1973
• Serge Lang. "Càlcul II". Fondo Educatiu Interamericano. Mèxic,publicat en 1976