Tangente (geometria)

Archiu:Tangent to a curve.svg

Tangente (geometria)

Archiu:Lineas del circulo.svg

en vert: llínea tangente
en blau: llínea secante
en roig: corda

La tangente a una curva en un punt P és una recta que toca a la curva solament en dit punt, cridat punt de tangència. Es pot dir que la tangente forma un àngul nul en dit punt. Esta noció es pot generalisar des de la recta tangente a un círcul o una curva a figures tangentes en dos dimensions —és dir, figures geomètriques en un únic punt de contacte (per eixemple, la circumferència inscrita)—, fins als espais tangentes, en a on es classifica el concepte de tangència en més dimensions.

Geometria en el pla

Recta tangente a una curva

Archiu:Cuerdas.png

Una recta és tangente a una curva en un punt comú si en dit punt té la mateixa pendent que la curva. La recta tangente és un cas particular d'espai tangente a una varietat diferenciable de dimensió 1, ${ℝ}^1$. El problema va poder resoldre's, plantejant que tal recta és la posició llímit de les rectes secantes de la curva que passen per un punt fix i els atres s'acosten a tal punt. Una llínea tangente simplement toca una curva en un punt, coincidint en la pendent de la curva allí. (Del llatí tangens "tocar", com en la paraula "tangible").

Elaboració geomètrica

Intuitivament, la tangente T_A és la posició llímit del recte o el llímit de les rectes secantes a la curva C, que passen pels punts A i M_i quan s'aproximen indefinidament per M₁, M₂, M₃, M₄, …

Construcció analítica

Analíticament, si C ve donada per una funció f(x), tal que, $A=(a,f(a))$ i $M_i=(m_i,f(m_i))$, llavors la recta $A{M}_i$ quan $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{m}_i=a$ tindrà com a coeficient director o pendent:

$\underset{m_i\to a}{\lim }\frac{f(m_i)-f(a)}{m_i-a}$

que per definició és $f^{\prime }(a)$ la derivada de f en a.

La recta tangente, $T_A$, a la funció és:

$T_A(x)=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

Determinació de la recta tangente

Per a determinar la recta tangente en un punt P(x,f(x)) n'hi ha prou en conéixer el seu àngul d'inclinament, açò és:

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\varphi (\Delta x)={\varphi }_0$

Per a trobar este àngul es pot amprar el seu tangente trigonométrica, en atres térmens la pendent (inclinament angular) de la recta tangente. O siga:

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\varphi (\Delta x)={\varphi }_0$

$tan\varphi (\Delta x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$tan\varphi (\Delta x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Si en el punt x existix la recta tangente (no vertical) a la curva llavors existix el llímit

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }tan\varphi (\Delta )=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=tan{\varphi }_0$

Per tant, es pot obtindre l'àngul ${\varphi }_0$ com l'arc tangente:

${\varphi }_0=arctan\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Finalment, per a l'equació de la recta tangente, es necessita la pendent m, que no és sino el llímit $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$, puix, ademés es coneix el punt de tangència P(x, f(x)).

Circumferències tangentes

Archiu:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg

Artícul principal → Problema de Apolonio.

Si es posa circumferència de centre $C_i$ i ràdio $r_i$, és tangente en un punt $P$ a una atra circumferència de centre $C_j$ i ràdio $r_j$ si l'els dos centres de les circumferències i el punt de tangència estan sobre la mateixa recta, i el punt $P$ de tangència és l'intersecció de les dos circumferències.

Aixina partint d'una circumferència i un punt P, de la mateixa, traçant una recta que passe pel centre de la circumferència i el punt P, qualsevol circumferència en centre en esta recta, que passe per P, serà tangente a la circumferència donada en eixe punt.

Circumferència tangente a una recta

Archiu:CircunferenciasTangentes.svg

Donada una recta r i un punt P de la mateixa, traçant la perpendicular a la recta r per P, qualsevol circumferència en centre en esta perpendicular que passe per P és tangente a r en el punt P.

Pel raonament invers podem traçar la recta tangente a una circumferència en un punt P donat. La seua equació es diu equació de la desdoblada.

Pla tangente

Artícul principal → Espai tangente.

Archiu:Tangentialvektor.svg

En geometria diferencial, espai tangente és el conjunt associat a cada punt d'una varietat diferenciable format per tots els vectores tangentes a dit punt. És un espai vectorial de la mateixa dimensió que la dimensió de la varietat.

Hi ha vàries formes d'entendre este concepte. Primer anem a explicar utilisant la gràfica del costat. Escomencem suponent que tenim una curva $\gamma$ en la varietat M que passa per alguna posició elegida qualsevol: $x\in M$. És dir un mapage $\gamma :]-\epsilon ,\epsilon [\to M$ diferenciable que satisfà $\gamma (0)=x$ i ${\gamma }^{\prime }(0)=v$. Resulta que el conjunt de tots estos vectores formen l'espai tangente $T_{x}M$ de x en M.

Vore també

• Recta normal

Bibliografia

• Plantilla:Springer
• Recta tangente en MathWorld.