Funció composta

Archiu:Compfun.svg

$g\circ f$, és l'aplicació resultant de l'aplicació successiva de $f$ i de $g$. En l'eixemple, $(g\circ f)(a)=$

En àlgebra abstracta, una funció composta és una funció formada per la composició o aplicació successiva d'atres dos funcions. Per a això, s'aplica sobre l'argument la funció més pròxima al mateix, i al resultat del càlcul anterior se li aplica finalment la funció restant.

Usant la notació matemàtica, la funció composta $g\circ f:X\to Z$ expressa que $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$ para tot $x$ pertanyent a $X$. Es llig «$f$ composta en $g$», «composició de $f$ en $g$», «$g$ en $f$», «$f$ llavors $g$», «$g$ de $f$» o «$g$ círcul $f$». $g\circ f$ significa que $x$ pertany al domini de $f$ i que $f(x)$ pertany a el de $g$.

La composició de funcions és un cas especial de la composició de relacions, a voltes també denotada per $\circ$. Com a resultat, totes les propietats de la composició de relacions són certes per a la composició de funcions, com la propietat associativa.

La composició de funcions és diferent de la multiplicació de funcions (si és que es definix), i té algunes propietats prou diferents; en particular, la composició de funcions no és conmutativa.

Definició

De manera formal, donades dos funcions:

$\begin{array}{cccc}f:& X& ⟶& Y\\ & x& ⟼& y=f(x)\end{array}$

i

$\begin{array}{cccc}g:& Y& ⟶& Z\\ & y& ⟼& z=g(y)\end{array}$

a on l'image de f està continguda en el domini de g, es definix la funció composició de f en g (note's que les funcions es nomenen en l'orde d'aplicació a la variable, no en l'orde successiu de representació):

$\begin{array}{cccc}(g\circ f):& X& ⟶& Z\\ & x& ⟼& z=(g\circ f)(x)=g(f(x))\end{array}$

A tots els elements de X se li associa una element de Z segons: $z=g(f(x))$.

$\begin{array}{ccccc}X& ⟶& Y& ⟶& Z\\ x& ⟼& y=f(x)& ⟼& z=g(f(x))\end{array}$

També es pot representar de manera gràfica usant la categoria de conjunts, per mig d'un diagrama conmutativo:

Archiu:Commutative diagram for morphism.svg

Pot donar-se el cas en que la funció composta resultant no es verifique de la forma esperada per la definició: donada la funció

$f:X⟶Y$

i la funció

$g:Y^{\prime }⟶Z$

. La funció composta

$g\circ f:X^{\prime }⟶Z$

, a on

$X^{\prime }\subseteq X$

i

$Y^{\prime }\subseteq Y$

. El conjunt

$X^{\prime }$

pot estar definit de forma explícita com és en este eixemple, o ser un element del conjunt potència (conjunt de parts) de

$X$

.

Archiu:Función compuesta.png

El domini de la composició $\mathrm{g}\circ \mathrm{f}$ ($g[f(x)]$) està format pels elements pertanyents al domini de $f$ tals que $f(x)$ pertanyga al domini de $g$

Propietats

• La composició de funcions és associativa, és dir:

La composició de funcions és sempre associativa-una propietat heretada de la composició de relacions. És dir, si $f$, $g$, i $h$ són componibles, llavors $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$. Ya que els paréntesis no canvien el resultat, generalment s'ometen.

• La composició de funcions en general no és conmutativa, és dir:

Per eixemple, donades les funcions numèriques $f(x)=x+1$, i $g(x)=x^2$, llavors $(f\circ g)(x)=x^2+1$, mentres que $(g\circ f)(x)=(x+1{)}^2=x^2+2x+1$.

• l'element neutre i també associat a la composició de funcions és la funció identitat.

• En les tres propietats anteriors: associativa, no conmutativa i element neutre, les funcions reals de variable real constituïxen un monoide per a l'operació interna de composició de funcions.

• Ademés, la inversa de la composició de dos funcions és:

En un sentit estricte, la composició $g\circ f$ només té sentit si el codominio de $f$ és igual al domini de $g$; en un sentit més ampli, n'hi ha prou en que el primer siga un subconjunt impropi del segon. Ademés, a sovint és convenient restringir tácitamente el domini de $f$, de modo que $f$ produïxca només valors en el domini de $g$. Per eixemple, la composició $g\circ f$ de les funcions $f:ℝ\to (-\mathrm{\infty },9]$ definida per $f(x)=9-x^2$ i $g(x):[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$ definida per $g(x)=\sqrt{x}$ pot definir-se en l'interval$[-3,3]$.

Archiu:Absolute value composition.svg

Les composicions de dos funcions real, el valor absolut i una funció cúbica, en distints órdens, mostren una no conmutatividad de la composició.

Es diu que les funcions $g$ i $f$ són conmutativas entre sí, si $f\circ g=g\circ f$. La conmutatividad és una propietat especial, alcançada només per funcions particulars, i a sovint en circumstàncies especials. Per eixemple, $x+3=|x|+3$ només quan $x\ge 0$. L'image mostra un atre eixemple.

La composició de funcions un a un (inyectivas) és sempre un a un. De la mateixa manera, la composició d'onto (sobreyectiva) funcions és sempre onto. D'això es deduïx que la composició de dos biyecciones és també una biyección. La funció inversa d'una composició (se supon invertible) té la propietat de que $(f\circ g{)}^{-1}=(g^{-1})\circ (f^{-1})$.

Les Derivades de composicions que involucren funcions diferenciables poden trobar-se usant la regla de la cadena. Les derivades superiors de tals funcions vénen donades per fòrmula de Faà vaig donar Bruno.

Bibliografia

• Formulaire mathématique (vol. IV) (en fr), p. 229.
• Curves, Functions and Forces, new edició (vol. I), Boston, USA, p. 203.

• Encyclopédie dones sciences mathématiques pures et appliquées (vol. I) (en fr), p. 195.