Conjunt potencia

Archiu:OrdenParcial.svg

Conjunt potencia

En matemàtiques, el conjunt potencia d'un conjunt donat és un atre conjunt format per tots els subconjunts del conjunt donat. Per eixemple, donat el conjunt:

el conjunt potencia és:

El conjunt potencia de $A$ també es denomina conjunt de les parts de $A$ i es denota per $𝒫(A)$, a on $2^{|A|}$ és el cardinal de les parts de $A$, és dir, $|𝒫(A)|=2^{|A|}$.

Definició

El conjunt potencia de A és la classe o colecció dels subconjunts de A:

Eixemples

• El conjunt potencia de A = {a, 2, c} és:

$𝒫(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c\},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• El conjunt potencia de B = { x } és:

$𝒫(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}$

Propietats

El conjunt potencia de qualsevol conjunt conté a lo manco un subconjunt. Ademés, no és equipotente en la base.

Cardinal

Sempre que el conjunt buit no siga element d'un conjunt, es complix lo següent: El número d'elements del conjunt potencia és precisament una potencia del número d'elements en el conjunt original:

Esta relació és l'orige de la notació 2^A per al conjunt potencia. Una manera de deduir-la és per mig dels coeficients binomiales. Si el conjunt A té n elements, el número de subconjunts en k elements és igual al número combinatori C(n, k). Un subconjunt de A pot tindre 0 elements com a mínim, i n com a màxim, i per lo tant:

$|𝒫(A)|=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=2^n=2^{|A|}$

Esta relació pot demostrar-se també observant que el conjunt potencia de A és equivalent al conjunt de funcions en domini A i codominio {0, 1}, f : A → {0, 1}. Cada funció correspon llavors en un subconjunt, si s'interpreta l'image d'un element com un indicador de si dit element pertany al subconjunt: 0 indica «no pertany», 1 indica «pertany». El número d'estes funcions característiques de A és precisament 2ⁿ, si Plantilla:Mabs = n.

En el cas d'un conjunt infinit l'identificació entre subconjunts i funcions és igualment vàlida, i el cardinal del conjunt potencia seguix sent igual a 2^{Plantilla:Mabs}, en térmens de cardinals infinits i la seua aritmètica. El conjunt potencia sempre té un cardinal superior al del conjunt original, com establix el teorema de Cantor, per lo que mai existix una aplicació biyectiva entre un conjunt i el seu conjunt potencia.

• El mínim dels cardinals de conjunts potencia és 1, exactament el del conjunt potencia del conjunt buit

Referències

• Jech, Thomas (2003). «7. Filters, Ultrafilters and Boolean Algebras», Set Theory, 3ª edició (en anglés), Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Lipschutz, Seymour (1998). «1.9. Clasess of sets, power sets», Set Theory and Related Topics (en anglés), McGraw-Hill. ISBN 0-07-038159-3.