Número cardinal (teoria de conjunts)

Archiu:Countable.vs.Continuum.svg

Comparació dels cardinals numerable i continu. Cada successió binaria, composta per una cantitat numerable de «decimals binarios», correspon a un punt del segment entre 0 i 1. El «número» de decimals en cada successió és ℵ₀. El «número» de punts en el segment és 2^ℵ₀: dos possibilitats (0 o 1) per a cada decimal de cada successió.

En teoria de conjunts, un número cardinal o cardinal és una generalisació dels número natural per a contar el número d'elements, la cardinalidad, de qualsevol conjunt, finito o infinit. El cardinal d'un conjunt finito és un número natural ordinari. El cardinal d'un conjunt infinit és un número transfinito. Els cardinals classifiquen els conjunts de manera més «tosca» que els números ordinals, que distinguixen no solament el número d'elements d'un conjunt sino també la manera en la que estan ordenats.

Els cardinals es definixen per mig de la noció de equipotencia, que relaciona dos conjunts si «tenen el mateix número d'elements». Establida esta relació, els cardinals són representants de tots els tamanys possibles per a un conjunt. Pot demostrar-se que existixen conjunts infinits en distint tamany. Per eixemple, els conjunts dels número natural i dels número real no tenen el mateix cardinal. De fet és necessària una colecció infinita de números transfinitos per a classificar tots els conjunts infinits.

Existix una successió infinita de cardinals:

$0,1,2,3,\dots ,{\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots ,{\mathrm{\aleph }}_{\omega },\dots$

que escomença en els número natural (en zero), i continua en els números alef, que són cardinals de conjunts ben ordenats. Cada alef té un índex, un cert número ordinal, que indica la seua posició dins de la série. Depenent de si s'assumix l'axioma d'elecció o no, els alefs agoten tots els cardinals possibles o no.

Introducció

Per a comparar el tamany de dos conjunts finitos n'hi ha prou en contar els seus elements i contrastar el resultat. En el XIX, Georg Cantor va trobar una manera d'efectuar esta comparació aun cuando els conjunts involucrats siguen infinits. Per a això, va propondre posar els elements d'abdós conjunts en parelles (establint una correspondència): d'esta manera, si tots queden emparellats sense que sobre ni falte cap es diu que són equipotentes.

Per eixemple, els número natural N = {0, 1, 2, ...} i els número entero Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...} són abdós conjunts infinits. En particular, els naturals són un subconjunt dels sancers, N ⊆ Z. Açò podria sugerir que el tamany del conjunt dels naturals és menor que el dels sancers. No obstant, abdós conjunts són equipotentes ya que poden emparellar-se com seguix:

A cada natural n li correspon el sancer −n/2 si n és parell, i el sancer (n + 1)/2 si n és impar.

No obstant, Cantor va descobrir que no tots els conjunts infinits són equipotentes. Per eixemple, el conjunt dels número real R (o el conjunt de punts en una recta) és infinit i no numerable, per lo que no és equipotente al conjunt dels número natural i és de major tamany.

Cantor va assignar llavors un número cardinal a cada conjunt infinit, un cert objecte que representava el seu tamany, de modo que dos conjunts serien equipotentes quan els corresponguera el mateix cardinal. D'esta manera, va estendre els número natural com a representants de la cardinalidad dels conjunts finitos.

Història

En 1876, Cantor va provar la no equipotencia de naturals i reals. En la seua obra Fonaments per a una teoria general de conjunts, va introduir la noció de número transfinito, com una generalisació dels número natural, que va més allà d'ells formant una série ordenada i illimitada:

Cantor va descobrir que cada número transfinito es corresponia en un número ordinal, que representa la posició d'un element en un cert conjunt ben ordenat, i també que els transfinitos s'organisaven en lo que va cridar «classes numèriques».

Aixina, classificava als número natural en la classe numèrica (I), que és major que tots ells. Els números de la classe numèrica (II) són tots els que tenen la mateixa potència que la classe numèrica (I), açò és, que siguen numerables (com tots els transfinitos mostrats dalt), etc. També va demostrar que en la série transfinita es donen infinites classes numèriques cada volta més grans.

Per mig d'estes classes numèriques va establir la classificació de les potències infinites, i va introduir la notació dels álefs, en la que ℵ_n representa la classe numèrica n + 1 (a on n en general era un transfinito o ordinal), que formaven una atra série transfinita de totes les possibles cardinalidades infinites.

Bibliografia

• Cantor, Georg (2006). Fonaments per a una teoria general de conjunts. Escrits i correspondència selecta., Crítica. ISBN 84-8432-695-0.
• History and Philosophy of Logic.31(2)

123-143.doi:10.1080/01445340903545904.

• .
• Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice (en anglés), North-Holland. ISBN 0-7204-2275-2.
• Rubin, Jean E. (1967). Set Theory for the Mathematician (en anglés), Holden-Day. OCLC 816225.