Fòrmula de Faà vaig donar Bruno

La fòrmula de Faà vaig donar Bruno és una identitat que generalisa la regla de la cadena a derivades d'orde superior, cridada aixina en honor al matemàtic italià Francesco Faà vaig donar Bruno (1825-1888) , encara que ell no va ser el primer en afirmar o demostrar la fòrmula. En 1800, més de 50 anys abans de Faà vaig donar Bruno, el matemàtic francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) va declarar la fòrmula en un llibre de càlcul, considerada la primera referència publicada al respecte sobre el tema.

Potser, la forma més coneguda de la fòrmula Faa vaig donar Bruno diu que:

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!1{!}^{m_1}{m}_2!2{!}^{m_2}\cdots m_n!n{!}^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots +m_n)}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^n{(g^{(j)}(x))}^{m_j}$,

a on la suma és sobre totes les n-tuplas de sancers no negatius (m₁, …, m_n) que satisfan la restricció:

$1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots +n\cdot m_n=n.$.

A voltes, per a donar-li un patró memorable, esta està escrita en una forma en la que els coeficients que tenen l'interpretació combinatòria que es discutixen a continuació són menys explícits:

Combinant els térmens en el mateix valor de m₁ + m₂ + ... + m_n = k i notant que m _j té que ser zero per a j > n − k + 1 proporciona una fòrmula alguna cosa més senzilla en térmens de Polinomis de Bell B_n,k(x₁,...,x_n−k+1):

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(g(x))=\sum _{k=1}^n{f}^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}(g^{\prime }(x),g^{″}(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x))$.