Funció inversa

Funció inversa

Una funció ƒ i la seua funció inversa ƒ^–1. Com ƒ aplica a en 3, la funció inversa ƒ^–1 retorna 3 en a.

En matemàtiques, especialment en anàlisis matemàtic, si f és una funció que assigna elements de I en elements de J, en certes condicions serà possible definir la funció f ^-1 que realise el camí de regrés de J a I. En eixe cas direm que f ^-1 és la funció completament oposta a l'original inversa de f.

Definicions formals

Siga $f$ una funció real biyectiva el responsable de la qual o domini siga el conjunt $I$ i que la seua image siga el conjunt $J$. Llavors, la funció inversa de $f$, denotada $f^{-1}$, és la funció de domini $J$ i codominio $I$ definida per la següent regla:

$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x\text{.}$

Destaquem que $f^{-1}$, de la mateixa manera que $f$, és una aplicació biyectiva, que queda determinada de modo únic per $f$ i que complix:

• $f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_i$ i
• $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_j$.

De fet, estes dos últimes propietats caracterisen a la funció inversa, com a mostra la següent definició alternativa.

Definicions alternatives

Donades dos aplicacions i les propietats:

1. $g\circ f={\mathrm{id}}_I$ i
2. $f\circ g={\mathrm{id}}_J$,

llavors:

• Si es complix 1) llavors $f$ és inyectiva i $g$ sobreyectiva, i direm que $g$ és inversa per l'esquerra de $f$.
• Si es complix 2) llavors $g$ és inyectiva i $f$ sobreyectiva, i direm que $g$ és inversa per la dreta de $f$.
• Si es complixen simultàneament 1) i 2) llavors $f$ i $g$ són biyectivas i $g$ és l'inversa de $f$.

Este últim punt s'usa com a definició de funció inversa.

Notació alternativa

La notació tradicional $f^{-1}$ pot ser confusa, ya que pot donar a entendre $\frac{1}{f}$ . Una notació alternativa utilisada en teoria de conjunts és usar una estrela:

• $f^{\star }:B\to A$

Una atra notació menys usada és utilisar solament el signe menys en lloc del número $-1$:

• $f^{-}:B\to A$.

Propietats algebraiques

Inversió de l'orde en la composició de funcions.

• La funció inversa de la composició de dos funcions, sempre que tinguen la seua funció inversa, ve donada per la fòrmula

$(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

Observe's que s'invertix l'orde de f i g, puix per a desfer el camí alvançat primer per f i despuix per g, caldrà escomençar desfent este últim per mig de g^–1 i terminar en f^–1,

• L'involució: la funció inversa de la funció inversa de la funció f , si existix, és la mateixa funció f.

${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$

Esta propietat es deduïx de la simetria que hi ha en les fòrmules: $f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$ i $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y$.

Vore també

• Teorema de la funció inversa, condicions suficients per a l'existència d'una funció inversa contínua i diferenciable.

Referències

Bibliografia

• Bartle, Robert Galvis -Sherbert, Donald R. Introducció a l'Anàlisis matematemático d'una variable, Noriega Editors, Mèxic 1984.
• Oubiña,Embolica : Introducció a la teoria de conjunts, Eudeba, Buenos Aires.