Càlcul diferencial

Càlcul diferencial

l'espiral logarítmica de la closca del Nautilus és una clàssica image usada per a representar el (de)creiximent continu, concepte clau del càlcul.

El càlcul diferencial és una part del càlcul infinitesimal i del anàlisis matemàtic que estudia cóm canvien les funcions contínues segons les seues variables canvien d'estat. El principal objecte d'estudi en el càlcul diferencial és la derivada. Una noció estretament relacionada és la de diferencial d'una funció.

L'estudi del canvi d'una funció és d'especial interés per al càlcul diferencial, en concret el cas en el que el canvi de les variables és infinitesimal, açò és, quan dit canvi tendix a zero (es fa tan chicotet com es desige). I és que el càlcul diferencial es recolza constantment en el concepte bàsic del llímit. El pas al llímit és la principal ferramenta que permet desenrollar la teoria del càlcul diferencial i la que ho diferencia clarament de l'àlgebra. Des del punt de vista filosòfic de les funcions i la geometria, la derivada d'una funció en un cert punt és una mida de la taxa en la qual una funció canvia conforme un argument es modifica. Açò és, una derivada involucra, en térmens matemàtics, una taxa de canvi. Una derivada és el càlcul de les pendents instantànees de $f(x)$ en cada punt $x$. Açò es correspon a les pendents de les tangentes de la gràfica de dita funció en els seus punts (una tangente per punt); Les derivades poden ser utilisades per a conéixer la concavidad d'una funció, els seus intervals de creiximent, els seus màxims i mínims. L'inversa d'una derivada es diu primitiva, antiderivada o integral.

Diferenciació i diferenciabilidad

Una funció d'una variable és diferenciable en punt $x$ si la seua derivada existix en eixe punt; una funció és diferenciable en un interval si ho és en cada punt $x$ pertanyent a l'interval. Si una funció no és contínua en c, llavors no pot ser diferenciable en c; no obstant, encara que una funció siga contínua en c, pugues no ser diferenciable. És dir, tota funció diferenciable en un punt c és contínua en c, pero no tota funció contínua en c és diferenciable en c (com a f(x) = |x| és contínua, pero no diferenciable en x = 0).

Noció de derivada

Artícul principal → Derivada.

Recta secante entre els punts $f(x+h)$ i $f(x)$.

Les derivades es definixen prenent el llímit de la pendent de les rectes secantes conforme es van aproximant a la recta tangente. És difícil trobar directament la pendent de la recta tangente d'una funció perque només es coneix un punt d'esta, el punt a on ha de ser tangente a la funció. Per això, s'aproxima la recta tangente per rectes secantes. Quan es prenga el llímit de les pendents de les secantes pròximes, s'obtindrà la pendent de la recta tangente.

Per a obtindre estes pendents, prenga's un número arbitrariamente chicotet que es denominarà h. h representa una chicoteta variació en x, i pot ser tant positiu com a negatiu. La pendent de la recta entre els punts $(x,f(x))$ i $(x+h,f(x+h))$ és

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Esta expressió és un cocient diferencial de Newton. La derivada de f en x és el llímit del valor del cocient diferencial conforme les llínees secantes s'acosten més a la tangente:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Si la derivada de f existix en cada punt x, és possible llavors definir la derivada de f com la funció el valor de la qual en el punt x és la derivada de f en x.

ya que l'immediata substitució de h per 0 dona com resultat una divisió per zero, calcular la derivada directament pot ser poc intuïtiu. Una tècnica consistix en simplificar el numerador de modo que la h del denominador puga cancelar-se. Açò resulta molt senzill en funcions polinòmiques, pero per a la majoria de les funcions resulta massa complicat. Afortunadament, hi ha regles generals que faciliten la diferenciació de la majoria de les funcions.

El cocient diferencial alternatiu

La derivada de f(x) (tal com la va definir Newton) es va descriure com el llímit, conforme h s'aproxima a zero. Una explicació alternativa de la derivada pot interpretar-se a partir del cocient de Newton. Si s'utilisa la fòrmula anterior, la derivada en c és igual al llímit conforme h s'aproxima a zero de [f(c + h) - f(c)] / h. Si es deixa que h = x - c (per això, c + h = x), llavors x s'aproxima a c (conforme h tendix a zero). Aixina, la derivada és igual al llímit conforme x s'aproxima a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definició s'utilisa per a una demostració parcial de la regla de la cadena.

Funcions de vàries variables

Per a funcions de vàries variables $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$, les condicions de diferenciabilidad són més estrictes i requerixen més condicions a banda de l'existència de derivades parcials. En concret, es requerix l'existència d'una aproximació llineal a la funció en l'entorn d'un punt. Donada una base vectorial, esta aproximació llineal ve donada per la matriu jacobiana:

$\underset{\Vert 𝐡\Vert \to \mathrm{𝟎}}{\lim }\frac{𝐟({𝐱}_{\mathrm{𝟎}}+𝐡)-𝐟({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})-𝐉({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})𝐡}{\Vert 𝐡\Vert }=\mathrm{𝟎}$

Història

Els problemes comuns que varen donar orige al càlcul infinitesimal varen començar a plantejar-se en l'época clàssica de l'antiga Grècia (III.), en conceptes de tipo geomètric com el problema de la tangente a una curva d'Apolonio de Perge, pero no es varen trobar métodos sistemàtics de resolució sino fins a el XVII, gràcies als treballs d'Isaac Newton i de Gottfried Wilhelm Leibniz.

Ells dos varen sintetisar dos conceptes i métodos usats pels seus predecessors en lo que hui es denomina «diferenciació» i «integració». Varen desenrollar regles per a manipular les derivades (regles de derivació) i varen demostrar que abdós conceptes eren inversos (teorema fonamental del càlcul).

Des de el XVII, molts matemàtics han contribuït al càlcul diferencial. En el XIX, el càlcul va prendre un estil més rigorós, per matemàtics com Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866), i Karl Weierstrass (1815-1897). Va ser també durant este periodo quan el càlcul diferencial es va generalisar al espai euclídeo i al pla complex.

Aplicacions importants del càlcul diferencial

Recta tangente a una funció en un punt

La recta tangente a una funció $f(x)$ és com s'ha vist el llímit de les rectes secantes quan un dels punts de tall de la secante en la funció es fa tendir cap a l'atre punt de cort. També pot definir-se a la recta tangente com la millor aproximació llineal a la funció en el seu punt de tangència, açò és, la recta tangente és la funció polinòmica de primer grau que millor aproxima a la funció localment en el punt de tangència considerat.

Si es coneix l'equació de la recta tangente $T_a(x)$ a la funció $f(x)$ en el punt $a$, pot prendre's $T_a(x)$ com una aproximació raonablement bona de $f(x)$ en les proximitats del punt $a$. Açò vol dir que, si es pren un punt $a+h$ i s'evalua tant en la funció com en la recta tangente, la diferència $f(a+h)-T(a+h)$ serà despreciable front a $h$ en valor absolut si $h$ tendix a zero. Quant més prop s'estiga del punt $a$ tant més precisa serà l'aproximació de $f(x)$.

Per a una funció $f(x)$ derivable localment en el punt $a$, la recta tangente a $f(x)$ pel punt a és:

$T_a(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

Us de les derivades per a realisar gràfics de funcions

Les derivades són una ferramenta útil per a examinar les gràfiques de funcions. En particular, els punts en l'interior d'un domini d'una funció de valors reals que duen a dita funció a un extrem local tindran una primera derivada de zero. No obstant, no tots els punts crítics són extrems locals. Per eixemple, f(x)=x³ té un punt crític en x=0, pero en eixe punt no hi ha un màxim ni un mínim. El criteri de la primera derivada i el criteri de la segona derivada permeten determinar si els punts crítics són màxims, mínims o cap.

En el cas de dominis multidimensionales, la funció tindrà una derivada parcial de zero sobre cada dimensió en un extrem local. En este cas, la prova de la segona derivada es pot seguir utilisant per a caracterisar als punts crítics, considerant l'eigenvalor de la matriu Hessiana de les segones derivades parcials de la funció en el punt crític. Si tots els eigenvalores són positius, llavors el punt és un mínim local; si tots són negatius, llavors és un màxim local. Si hi ha alguns eigenvalores positius i alguns negatius, llavors el punt crític és un punt cadira, i si no es complix cap d'estos casos, la prova és no concloent (és dir, els engeivalores són 0 i 3).

Una volta que es troben els extrems locals, és molt més fàcil fer-se d'una burda idea de la gràfica general de la funció, ya que (en el cas del domini monodimensional) s'incrementarà o decrementará uniformemente llevat en els punts crítics, i per això (suponent el seu continuïtat) tindrà valors intermijos entre els valors en els punts crítics de cada costat.

Aproximació local de Taylor

Artícul principal → Série de Taylor.

És possible llavors aproximar per mig de la seua recta tangente a una funció derivable localment en un punt. Si es complix que la funció és suficientment suau en el punt o domini d'estudi (açò és, la funció és de classe $C^n$), llavors es pot aproximar la funció no per polinomis de grau un, sino de grau dos, tres, quatre i successivament. Esta aproximació rep el nom de «desenrolle polinòmic de Taylor» i es definix de la següent manera:

$P(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots +\frac{f^n(a)}{n!}(x-a{)}^n$

A on $P(x)$ és el polinomi de grau $n$ que millor aproxima a la funció en el punt $x=a$. Note's que, si s'evalua $P(x)$ en $x=a$, tots els térmens llevat el primer s'anulen; després, $P(a)=f(a)$. Note's també que l'equació de la recta tangente de l'apartat anterior correspon al cas en el que $n=1$.

Quan $a=0$, el desenroll es denomina desenroll de MacLaurin. En la pràctica, la majoria de les voltes s'ampren desenrolls de MacLaurin. Eixemples de desenrolls importants de MacLaurin són:

$e^x\approx 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$

$\sin \left(x\right)\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

$\ln (1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$

Note's el símbol $\approx$ que denota aproximació, no igualtat. Si la funció a aproximar és infinitament derivable ($C^{\mathrm{\infty }}$) i s'agreguen infinits térmens al desenroll, llavors el $\approx$ es convertix en un $=$ i el desenroll anterior es convertix en una série de Taylor. Les funcions que són igual a la seua série de Taylor es denominen funcions analítiques.

Càlcul de punts

Donada una funció

$\begin{array}{cc}f:[a,b]& \to ℝ\\ x& \mapsto f(x)\end{array}$

podem diferenciar els següents punts:

Punt frontera

Punt interior

Punt crític

Punt singular

Punt estacionario

Punt d'inflexió

Punts crítics

Per punt crític s'entén per un punt singular o estacionario.

Punts singulars

Són punts singulars els valors en els que la derivada de la funció: $f^{\prime }(x)$, presenta algun tipo de discontinuidad.i

Punts estacionarios

Es denomina punt estacionario als valors de la variable en els que s'anula la derivada $f^{\prime }(x)$, és dir, si $f^{\prime }(x_i)=0$ per a $i=1,2,\dots ,n$ llavors $x_1,x_2,\dots ,x_n$ són punts estacionarios de $f(x)$.

Els valors $f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n)$, es diuen valors estacionarios.

Si la segona derivada és positiva en un punt estacionarios, es diu que el punt és un mínim local; si és negativa, es diu que el punt és un màxim local; si val zero, pot ser tant un mínim com un màxim o un punt d'inflexió. Derivar i resoldre en els punts crítics sol ser una forma simple de trobar màxims i mínims locals, que poden amprar-se en optimisació. No obstant, mai cal despreciar els extrems en dits problemes.

Generalisació del càlcul diferencial

Quan una funció depén de més d'una variable, s'utilisa el concepte de derivada parcial. Les derivades parcials es poden pensar informalment com prendre la derivada d'una funció sobre una d'elles, mantenint les demés variables constants. Les derivades parcials es representen com:

En a on $\partial$ és una 'd' redonejada coneguda com a 'símbol de la derivada parcial'.

El concepte de derivada pot estendre's de forma més general. El fil comú és que la derivada en un punt servix com una aproximació llineal a la funció en dit punt. Potser la situació més natural és que les funcions siguen diferenciables en les varietats. La derivada en un cert punt llavors es convertix en una transformació llineal entre els corresponents espais tangentes, i la derivada de la funció es convertix en un mapage entre els grups tangentes.

Per a diferenciar totes les funcions contínues i molt més, es pot definir el concepte de distribució. Per a les funcions complexes d'una variable complexa, la diferenciabilidad és una condició molt més forta que la simple part real i imaginària de la funció diferenciada sobre la part real i imaginària de l'argument. Per eixemple, la funció $f(x+\mathrm{i}y)=x+2\mathrm{i}y$ satisfà lo segon, pero no lo primer. Vore també la funció holomórfica.

Vore també: diferintegral.

Donades les funcions, de valor real, i abdós en domini, el problema consistix en trobar els valors màxims o mínims (valors extrems) de quan es restringix a prendre valors en el conjunt.

Conjunt $O_{x,\alpha }^n(h)$ d'Operadors Fraccionales

El càlcul fraccional de conjunts (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionat per primera volta en l'artícul titulat "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods", és una metodologia derivada del càlcul fraccional. El concepte principal darrere de el FCS és la caracterisació dels elements del càlcul fraccional utilisant conjunts per la gran cantitat d'operadors fraccionales disponibles. Esta metodologia es va originar a partir del desenroll del método de Newton-Raphson fraccional i treballs relacionats posteriors. El càlcul fraccional, una branca de les matemàtiques que tracta en derivades d'orde no sancer, va sorgir casi simultàneament en el càlcul tradicional. Esta emergència va ser en part per la notació de Leibniz para derivades d'orde sancer: $\frac{d^n}{d{x}^n}$. Gràcies a esta notació, L’Hopital va poder preguntar en una carta a Leibniz sobre l'interpretació de prendre $n=\frac{1}{2}$ en una derivada. En eixe moment, Leibniz no va poder proporcionar una interpretació física o geomètrica per a esta pregunta, per lo que simplement va respondre a L’Hopital en una carta que "... és una aparent paradoxa de la qual, algun dia, es derivaran conseqüències útils".

El nom "càlcul fraccional" s'origina a partir d'una pregunta històrica, ya que esta branca de l'anàlisis matemàtic estudia derivades i integrals d'un cert orde $\alpha \in ℝ$. Actualment, el càlcul fraccional carix d'una definició unificada de lo que constituïx una derivada fraccional. En conseqüència, quan no és necessari especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}.$

Els operadors fraccionales tenen vàries representacions, pero una de les seues propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mida que $\alpha \to n$. Considerant una funció escalar $h:{ℝ}^m\to ℝ$ i la base canònica de ${ℝ}^m$ denotada per $\{{\hat{e}}_k{\}}_{k\ge 1}$, el següent operador fraccional d'orde $\alpha$ es definix utilisant notació d'Einstein:

$o_x^{\alpha }h(x):={\hat{e}}_k{o}_k^{\alpha }h(x).$

Denotant $\underset{k}{\overset{n}{\partial }}$ com la derivada parcial d'orde $n$ sobre el component $k$-ésimo del vector $x$, es definix el següent conjunt d'operadors fraccionales:

$O_{x,\alpha }^n(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)=\underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\},$

el complement del qual és:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)\ne \underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\text{ para al menos un }k\ge 1\}.$

Com a conseqüència, es definix el següent conjunt:

$O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^n(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).$

Extensió a Funcions Vectorials

Per a una funció $h:\Omega \subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$, el conjunt es definix com:

${}_m{O}_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\{o_x^{\alpha }:o_x^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h{]}_k)\mathrm{\forall }k\le m\},$

a on $[h{]}_k:\Omega \subset {ℝ}^m\to ℝ$ denota el $k$-ésimo component de la funció $h$.

Vore també

• Anàlisis matemàtic
• Derivada
• Derivada parcial
• Diferencial
• Taula de derivades
• Integració

Bibliografia

• Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3a edició) per Bruce H Edwards, Robert P. Hostetler i Ron Larson (2003).
• Calculus (2a edició) per Michael Spivak.
• Calculus Early Trascendentals (6a edició) per James Stewart.
• Principis d'Anàlisis Matemàtic per Enrique Linés Escarde.

Enllaços externs

• Lliure de càlcul diferencial i integral (baixe llicència lliure Creative Commons)
• WIMS Calculador de funcions fa el càlcul de derivades en llínea
• ^{[enllaç trencat]} (llibre gratuït)

Videotutoriales

• Derivació en llímits
• Archivat el 10 de giner de 2012 archivat en Wayback Machine.
• Equació de la recta tangente en un punt donat
• Archivat el 10 de giner de 2012 archivat en Wayback Machine.
• Derivades en fòrmules
• Archivat el 10 de giner de 2012 archivat en Wayback Machine.
• Aplicacions de la derivada
• Archivat el 9 de giner de 2012 archivat en Wayback Machine.