Punt d'inflexió

Punt d'inflexió

Gràfic de i = f(x) en un punt d'inflexió en a.

En la matemàtica, un punt d'inflexió d'una funció, és un punt a on els valors d'una funció contínua en x passen d'un tipo de concavidad a una atra. La curva «travessa» la tangente. Matemàticament, la segona derivada de la funció f en el punt d'inflexió és zero, o no existix.

En el càlcul de vàries variables a estos punts d'inflexió se'ls coneix com punts de ensilladura.

Càlcul dels punts d'inflexió en funcions reals derivables de variable real

En les funcions derivables reals d'una variable real, per a trobar estos punts d'inflexió, n'hi ha prou en igualar la segona derivada de la funció a zero i rebujar els punts de x que complixen esta condició. Els punts obtinguts deuran ser substituïts en la derivada tercera o successives fins que nos done un valor diferent de zero. Quan açò succeïxca, si la derivada per a la que és distint de zero és impar, es tracta d'un punt d'inflexió; pero, si es tracta de derivada parell, no ho és. Més concretament:

1. Es troba la primera derivada de $f\to f^{\prime }(x)$
2. Es troba la segona derivada de $f\to f^{″}(x)$
3. Es troba la tercera derivada de $f\to f^{‴}(x)$
4. S'iguala la segona derivada a 0: $f{}^{″}(x)=0$
5. Es rebuja la variable independent i s'obtenen tots els valors possibles de la mateixa: $x=\{x_1,x_2,\mathrm{...},x_n/f^{″}(x_i)=0\mathrm{\forall }i=1,2,\mathrm{...},n\}$.
6. Es troba l'image de cada $x_i$substituint la variable depenent en la funció.
7. Ara, en la tercera derivada, se substituïx cada $x_i$:
   1. Si $f^{‴}(x_i)\ne 0$, es té un punt d'inflexió en $P(x_i,f(x_i))$.
   2. Si $f^{‴}(x_i)=0$, devem substituir $x_i$ en les successives derivades fins a siga distint de zero. Quan es trobe la derivada per a la que $x_i$ no siga nul, cal vore qué derivada és:
      1. Si la derivada és impar, es tracta d'un punt d'inflexió.
      2. Si la derivada és parell, no es tracta d'un punt d'inflexió.

L'equació $f(x)=x^4+2x$ no té punts d'inflexió, perque la derivada segona és sempre major o igual a zero, per tant no hi ha canvi de concavidad ya que és no negativa en tot el seu domini. No obstant en $x_0=0$ la derivada segona s'anula i la primera derivada no nula en $x_0=0$ és la derivada quarta, que és parell. Observe's que $f$ tampoc presenta un extrem en $x_0$.

Erro al crear miniatura:

Archiu:Función continua en a; 16-08 6271.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 2617.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 3526.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 4435.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 6253.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 7162.svg

Archiu:Función continua en a; 16-08 8071.svg

Vore també

Punt crític

Punt fronteriç

Punt estacionario

Punt singular

Punt d'inflexió

• Extrems d'una funció
• Singularitat matemàtica
• Classificació de discontinuïtats
• Criteri de la primera derivada
• Criteri de la segona derivada
• Criteri de la tercera derivada
• Criteri de la derivada de major orde
• Punt de cadira