Punt (geometria)

Punt (geometria)

Archiu:Caps block 0 3.svg

Representació d'un conjunt finito de punts (marques roges) en el pla euclídeo

El punt en la geometria és un dels ents fonamentals de la geometria, junt en la recta i el pla, puix són considerats conceptes primaris, és dir, que solament és possible descriure'ls en relació en atres elements similars o semblats.

El punt és l'entitat geomètrica més bàsica i carix de llarc, gruixa o gruixa. Se solen descriure recolzant-se en els postulats característics, que determinen les relacions entre els ents geomètrics fonamentals. El punt és l'unitat més simple, irreductiblemente mínima, de la comunicació visual; és una figura geomètrica sense dimensió, tampoc té llongitut, àrea, volum, ni un atre àngul dimensional. No és un objecte físic. Descriu una posició en el pla, determinada respecte d'un sistema de coordenades preestablides.

Història

El concepte de punt com a ent geomètric sorgix en l'antiga concepció grega de la geometria compilada en Aleixandria per Euclides en el seu tractat Els Elements, donant una definició de punt excloent: «lo que no té cap part». El punt, en la geometria clàssica, es basa en l'idea de que era un concepte intuïtiu, l'ent geomètric «sense dimensions» i solament era necessari assumir la noció de punt.

Representació gràfica

Eixemples de huit punts localisats en el pla cartesiano per mig dels seus parells de coordenades.

En alguns texts de geometria se sol utilisar una menuda creu (+), círcul (o), quadrat o triàngul. Con relación a atres figures, sol representar-se en un menut segment perpendicular quan pertany a una recta, semirrecta o segment.

Als punts se'ls sol nomenar en una lletra mayúscula: A, B, C, etc. (a les rectes en lletres minúscules, i als ànguls en lletres gregues).

La forma de representar un punt per mig de dos segments que es tallen (una menuda “creu” +) presupon que el punt és l'intersecció. Quan es representa en un menut círcul, circumferència o una atra figura geomètrica, presupon que el punt és el seu centre.

Determinació geomètrica

Un punt pot determinar-se en diversos sistemes de referència:

• En el sistema de coordenades cartesianas, es determina per mig de les distàncies ortogonals als eixos principals, que s'indiquen en dos lletres o números: (x, i) en el pla; i en tres en l'espai (x, i, z).

• En coordenades polars, per mig de la seua distància al centre i la mida angular respecte de l'eix de referència: (r, θ).

• En coordenades esfèriques, per mig de la seua distància al centre i la mida angular respecte dels eixos de referència: (r, θ, φ).

• En coordenades cilíndriques, per mig de coordenades radial, azimutal i altura: (o, φ, z).

• També es poden amprar sistemes de coordenades elíptiques, parabòliques, esferoidals, toroidales, etc.

Dimensió d'un punt

Hi ha vàries definicions no equivalents de dimensió en matemàtiques. En totes les definicions comunes, un punt és de dimensió zero.

Dimensió de l'espai vectorial

La dimensió d'un espai vectorial és el tamany màxim d'un subconjunt linealmente independent. En un espai vectorial que consistix en un sol punt (que deu ser el vector zero 0), no hi ha cap subconjunt linealmente independent. El vector zero no és en sí mateix linealmente independent, perque hi ha una combinació llineal no trivial que ho fa zero: $1\cdot \mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}$.

Dimensió topològica

La dimensió topològica d'un espai topològic $X$ es definix com el valor mínim de n, tal que tot recobriment obert finito $𝒜$ de $X$ admet un recobriment obert finito $ℬ$ de $X$ que refina $𝒜$ en el que cap punt estiga inclós en més de n+1 elements. Si no existix tal mínim n, es diu que l'espai és de dimensió de recobriment infinita.

Un punt és zero dimensional sobre la dimensió que ho recobrix perque cada recobriment obert de l'espai posseïx un refinament consistent en un conjunt obert.

Dimensió de Hausdorff

Siga X un espai mètric. Si S ⊂ X i d ∈ [0, ∞), el contingut de Hausdorff-dimensional d de S és l'ínfim del conjunt de números δ ≥ 0 tal que hi ha alguna colecció (indexada) de boles $\{B(x_i,r_i):i\in I\}$ cobrint S en r_i: > 0 per a cada i ∈ I que satisfà $\sum _{i\in I}{r}_i^d<\delta$

La dimensió de Hausdorff de X està definida per

${\dim }_{\mathrm{H}}(X):=\inf \{d\ge 0:C_H^d(X)=0\}.$

Un punt té dimensió de Hausdorff 0 perque pot ser cobert per una sola bola de radi arbitrariamente menut.

Punts, rectes i plans: posicions relatives

Daus tres o més punts en el pla o en l'espai (segons corresponga), es poden dividir en conjunts que complixquen o no en les següents condicions. Colineales: els denominats colineales són aquells continguts en una recta. Coplanarios: es denominen punts coplanarios aquells que estan continguts en un mateix pla.

Alguns postulats i teoremes relacionades en el punt

Postulats en geometria euclidiana

• Per un punt passen infinites rectes i plans.
• Dos punts determinen una recta i solament una.
• Una recta conté infinits punts.
• Un pla conté infinits punts i infinites rectes.
• L'espai conté infinits punts, rectes i plans.

Estos postulats es poden generalisar per a espais de n dimensions.

Teoremes en geometria euclidiana

• Tres punts no alineats determinen un pla i solament un.

Massa puntual i funció delta de Dirac

A sovint, en física i matemàtiques, és útil imaginar que un element puntual té una massa o càrrega distinta de zero (açò és especialment comú en l'electromagnetisme, a on els electronés es idealizan com a punts en càrrega distinta de zero). La funció delta de Dirac, o funció δ, és una funció generalisada (informalmente) de la recta numèrica real que és zero en tots els llocs llevat en zero, en una integral de valor un a lo llarc de tota la recta real. La funció delta a voltes es considera com un pico infinitament alt i infinitament prim en la font, en un àrea total d'un baix del pico, i representa físicament una massa puntual idealizada o una càrrega puntual. Va ser publicat per primera volta pel físic teòric Paul Dirac. En el context del processament de senyals, a sovint es denomina símbol (o funció) d'impuls unitari. El seu anàlec discret és la funció delta de Kronecker, que a sovint es definix en un domini llimitat i pren els valors 0 i 1.

Bibliografia

• Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dona'm Journal of Formal Logic 26: 61–75.
• D'Estany, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
• Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
• Whitehead, A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
• Munkres, James R. (2000). Topology, 2nd edició, Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
• A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. Plantilla:Isbn
• (2006).«Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics».
• «Hausdorff Dimension and Diophantine Approximation», Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot (vol. 72), pp. 305–347. doi:10.1090/pspum/072.1/2112110. ISBN 9780821836378.
• “The dimension of cartesian product sets” (1954). Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198–202. doi:10.1017/S0305004100029236. Bibcode: 1954PCPS...50..198M.
• (1995) Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65595-8.
• (2000).«Mathematical Methods for Physicists».Academic Press.Boston, Massachusetts:

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre punt.
• Point en MathWorld.
• Point-free geometry, en planetmath.org