Delta de Kronecker

En matemàtiques, la delta de Kronecker (cridada aixina en referència al matemàtic alemà Leopold Kronecker) és una funció de dos variables, generalment solament número entero no negatius. La funció val 1 si les dos variables són iguals i 0 en cas contrari:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }i\ne j,\\ 1& \text{si }i=j.\end{array}$

o en l'us de corchetes de Iverson:

${\delta }_{ij}=[i=j]$

a on la delta de Kronecker δ_ij és una funció definida a intervals de les variables i i j. Per eixemple, δ_1 2 = 0, mentres que δ_3 3 = 1.

La delta de Kronecker apareix de forma natural en moltes àrees de les matemàtiques, la física i l'ingenieria, com un mig per a expressar de manera compacta la seua definició anterior.

En àlgebra llineal, la matriu identitat I d'orde n × n té entrades iguals a la delta de Kronecker:

$I_{ij}={\delta }_{ij}$

a on i i j prenen els valors 1, 2, ..., n, i l'espai prehilbertiano de vectorés es pot escriure com

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i,j=1}^n{a}_i{\delta }_{ij}{b}_j=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i.$

Ací els vectores euclídeos es definixen com n-tuplas: $𝐚=(a_1,a_2,\mathrm{...},a_n)$ i $𝐛=(b_1,b_2,\mathrm{...},b_n)$ i l'últim pas s'obté utilisant els valors de la delta de Kronecker per a reduir la suma sobre j.

La restricció a número entero positius o no negatius és comú, pero de fet, la delta de Kronecker es pot definir en un conjunt arbitrari.

Propietats

Se satisfan les següents equacions:

$\begin{array}{cc}\sum _j{\delta }_{ij}{a}_j& =a_i,\\ \sum _i{a}_i{\delta }_{ij}& =a_j,\\ \sum _k{\delta }_{ik}{\delta }_{kj}& ={\delta }_{ij}.\end{array}$

Per tant, la matriu δ pot considerar-se com una matriu identitat.

Una atra representació útil és la següent forma:

${\delta }_{nm}=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{e}^{2\pi i\frac{k}{N}(n-m)}$

lo que es pot deduir usant la fòrmula d'una progressió geomètrica.

Notació alternativa

Usant el corchete de Iverson:

${\delta }_{ij}=[i=j].$

A sovint, s'usa una notació d'un sol argument δ_i, que és equivalent a establir j = 0:

${\delta }_i=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }i\ne 0\\ 1,& \text{si }i=0\end{array}$

En àlgebra llineal, es pot considerar com un tensor i s'escriu δPlantilla:La seua. A voltes, la delta de Kronecker es denomina tensor de substitució.

Vore també

• Mida de Dirac
• Funció indicatriz
• Símbol de Levi-Civita
• Funció unitat
• Porta XNOR
• Àlgebra de Virasoro
• Delta de Dirac
• Delta de Donsker