Matriu identitat

En àlgebra llineal, la matriu identitat és una matriu que complix la propietat de ser l'element neutre del producte de matrius. Açò vol dir que el producte de qualsevol matriu per la matriu identitat (a on dit producte estiga definit) no té cap efecte. La columna i-ésima d'una matriu identitat és el vector unitari $e_i$ d'una base vectorial immersa en un espai euclídeo de dimensió n. Tota matriu representa una aplicació llineal entre dos espais vectorials de dimensió finita. La matriu identitat es diu aixina perque representa a l'aplicació identitat que va d'un espai vectorial de dimensió finita a sí mateixa.

Definició

Com el producte de matrius només té sentit si les seues dimensions són compatibles, existixen infinites matrius identitat depenent de les dimensions. $I_n$, la matriu identitat de tamany $n$, es definix com la matriu diagonal que té valor 1 en cada una de les entrades de la diagonal principal i 0 en el restant. Aixina,

$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\cdots ,I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

Amprant la notació que a voltes s'usa per a descriure concisamente les matrius diagonals, resulta:

$I_n=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,1,\mathrm{...},1)$

Si el tamany és immaterial, o es pot deduir de forma trivial pel context, llavors s'escriu simplement com $I$.

També es pot escriure usant la notació delta de Kronecker:

$I_{ij}={\delta }_{ij}$

o, de forma encara més senzilla,

$I=({\delta }_{ij})$

La matriu identitat d'orde n pot ser també considerada com la matriu permutació que és element neutre del grup de matrius de permutació d'orde n!.

Vore també

• Matriu unitària
• Matriu zero
• Element neutre