Coordenades cartesianas
Les coordenades cartesianas (sistema cartesiano) són un tipo de coordenades ortogonals usades en espais euclídeos, per a la representació gràfica d'una relació matemàtica, moviment o posició en física, caracterisades per tindre com a referència eixos ortogonalés entre sí que concorren en el punt d'orige. En les coordenades cartesianas es determinen les coordenades a l'orige com la llongitut de cada una de les proyeccions ortogonals d'un punt donat sobre cada u dels eixos. La denominació de 'cartesiano' es va introduir en honor de René Descartes, qui les va utilisar per primera volta de manera formal.
Les coordenades cartesianas s'usen per eixemple per a definir un sistema cartesiano o sistema de referència respecte ya siga a un sol eix (llínea recta), respecte a dos eixos (un pla, sent aixina un sistema bidimensional) o respecte a tres eixos (en l'espai), perpendicular entre sí (pla i espai), que es tallen en un punt cridat orige de coordenades. En el pla, les coordenades cartesianas es denominen abscissa i ordenada. L'abscissa és la coordenada horisontal i es representa habitualment per la lletra x, mentres que l'ordenada és la coordenada vertical i es representa per la i.
En tallar-se les dos rectes, dividixen al pla en quatre regions o zones, que es coneixen en el nom de quadrants: Primer quadrant "I": Regió superior dreta Segon quadrant "II": Regió superior esquerra Tercer quadrant "III": Regió inferior esquerra Quart quadrant "IV": Regió inferior dreta El pla cartesiano s'utilisa per a assignar-li una ubicació a qualsevol punt en el pla. En la gràfica s'indica el punt +2 en les abscisses i +3 en les ordenades. El conjunt (2 , 3) es denomina "parell ordenat" i de la mateixa manera es poden ubicar atres punts. El quadrant té 4 punts negatiu i positiu ya que el costat esquerre se li crida negatiu que és -x, -i i costat dret és positiu +x,+i.
Les coordenades cartesianas són la base de la geometria analítica, i proporcionen interpretacions geomètriques esclarecedoras per a moltes atres branques de les matemàtiques, com l'àlgebra llineal, l'anàlisis complex, la geometria diferencial, el càlcul multivariante, la teoria de grups i més. Un eixemple familiar és el concepte de gràfica d'una funció. Les coordenades cartesianas són també ferramentes essencials per a la majoria de les disciplines aplicades que tracten en geometria, incloent astronomia, física, ingenieria i moltes més. Són el sistema de coordenades més comunament utilisat en gràfics per ordenador, disseny assistit per ordenador i uns atres processament de senyes relacionades en la geometria.
Història
[editar | editar còdic]
Es denominen coordenades cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filòsof i matemàtic francés que va voler fonamentar el seu pensament filosòfic en el método de prendre un «punt de partida» evident sobre el que edificaria tot el coneiximent.
Com a creador de la geometria analítica, Descartes també va començar prenent un «punt de partida» en esta disciplina, el sistema de referència cartesiano, per a poder representar la geometria plana, que usa solament dos rectes perpendicular entre sí que es tallen en un punt denominat «orige de coordenades».
Tant Descartes com Fermat varen utilisar un sol eix en els seus tractaments i tenen una llongitut variable mida en referència a este eix. El concepte d'utilisar un parell d'eixos es va introduir més vesprada, en acabant de que La Géométrie de Descartes fora traduïda al llatí en 1649 per Frans van Schooten i els seus alumnes. Estos comentaristes varen introduir varis conceptes al mateix temps que intentaven aclarir les idees contingudes en l'obra de Descartes.[1]
El desenroll del sistema de coordenades cartesianas jugaria un paper fonamental en el desenroll del càlcul per part d'Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz.[2] La descripció del pla en dos coordenades es va generalisar posteriorment en el concepte d'espais vectorials.[3]
Des de Descartes s'han desenrollat molts atres sistemes de coordenades, com el coordenades polars per al pla, i l'esfèriques i el coordenades cilíndriques per a l'espai tridimensional.
Pla cartesiano
[editar | editar còdic]En un sistema de referència conformat per dos rectes perpendicular que es tallen en l'orige , cada punt del pla pot "nomenar-se" per mig de dos números: (x, i), que són les coordenades del punt, cridades abscissa i ordenada, respectivament, que són les distàncies ortogonalés de dit punt respecte als eixos cartesianos.
Sistema de coordenades cartesianas.
La equació de l'eix és , i la de l'eix és , rectas que es tallen en l'orige , les coordenades del qual són .
Es denomina també eix de les abscisses a l'eix , i eix de les ordenades a l'eix . Els eixos dividixen l'espai en quatre quadrants I, II, III i IV, en els que els signes de les coordenades alternen de positiu a negatiu (per eixemple, les dos coordenades del punt A seran positives, mentres que les del punt B seran abdós negatives).
Les coordenades d'un punt qualsevol vindran donades per les proyeccions del segment entre l'orige i el punt sobre cada u dels eixos.
Sobre cada u dels eixos es definixen vectores unitaris (i i j) com aquells paralels als eixos i de mòdul (llongitut) l'unitat. En forma vectorial, la posició del punt As definix respecte de l'orige en les components del vector OA.
La posició del punt A serà:
Note's que la llista de coordenades pot expressar tant la posició d'un punt com les components d'un vector en notació matricial.
La distància entre dos punts qualssevol vindrà donada per l'expressió:
Aplicació del teorema de Pitágoras al triàngul rectàngul ABC.
Un vector qualsevol AB es definirà restant, coordenada a coordenada, les del punt d'orige de les del punt de destí:
Evidentment, el mòdul del vector AB serà la distancia dAB entre els punts A i B abans calculada.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Burton 2011, p. 374.
- ↑ Un recorregut pel càlcul, David Berlinski.
- ↑ Axler, Sheldon (2015). L'àlgebra llineal ben feta - Springer, pp. 1. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Coordenadas cartesianas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.