Espai mètric

Plantilla:PA Plantilla:Espai matemàtic 3 En matemàtica, un espai mètric és un conjunt que du associada una funció distancia, és dir, que esta funció està definida sobre dit conjunt, complint propietats atribuïdes a la distància, de modo que per a qualsevol parell de punts del conjunt, estos estan a una certa distància assignada per dita funció.

En particular, qualsevol espai mètric serà, ademés, un espai topològic perque qualsevol funció de distància definida sobre un conjunt dau induïx una topología sobre dit conjunt. Es tracta de la topología induïda per les boles obertes associades a la funció distancia de l'espai mètric.

L'eixemple més conegut d'espai mètric és l' espai euclídeo tridimensional en la seua noció habitual de distància. Atres eixemples coneguts són una esfera dotada de la distància angular i el pla hiperbòlic. Una mètrica pot correspondre a una noció metafòrica, més que física, de distància: per eixemple, el conjunt de cadenes Unicode de 100 caràcters pot equipar-se en la distància de Hamming, que medix el número de caràcters que cal canviar per a passar d'una cadena a una atra.

Ya que són molt generals, els espais mètrics són una ferramenta utilisada en moltes branques diferents de les matemàtiques. Molts tipos d'objectes matemàtics tenen una noció natural de distància i, per lo tant, admeten l'estructura d'un espai mètric, incloent la varietat de Riemann, espai vectorial normados i grafos. En àlgebra abstracta, els p-ádicos sorgixen com a elements de la completitud d'una estructura mètrica sobre els número racional. Els espais mètrics també s'estudien per dret propi en geometria mètrica i anàlisis sobre espais mètrics..

Moltes de les nocions bàsiques del anàlisis matemàtic, incloent bolas, completitud, aixina com uniforme, Lipschitz, i continuïtat de Hölder, poden definir-se en l'entorn d'espais mètrics. Atres nocions, com continuïtat, compacidad, i obert i conjunt tancat, poden definir-se per a espais mètrics, pero també en l'entorn encara més general d'espai topològic.

Història

En 1906 Maurice Fréchet va introduir els espais mètrics en la seua obra Sur quelques points du calcul fonctionnel en el context del anàlisis funcional: el seu principal interés era estudiar les funcions de valor real d'un espai mètric, generalisant la teoria de funcions de vàries o inclús infinites variables, de la que varen ser pioners matemàtics com Cessara Arzelà. L'idea va ser desenrollada i situada en el seu context adequat per Felix Hausdorff en la seua obra magna Principis de la teoria de conjunts, que també va introduir la noció d'un (Hausdorff) espai topològic.

Els espais mètrics generals s'han convertit en una part fonamental del currículum matemàtic. Eixemples destacats d'espais mètrics en l'investigació matemàtica inclouen els colectors riemannianos i els espais vectorials normados, que són el domini de la geometria diferencial i l'anàlisis funcional, respectivament. Geometria fractal és una font d'alguns espais mètrics exòtics. Uns atres han sorgit com a llímits a través de l'estudi d'objectes discrets o plans, incloent llímits invariantes d'escala en física estadística, espai de Alexandrovs que sorgixen com llímits de Gromov-Hausdorff de seqüències de varietats riemannianas, i llímits i cons asintòtics en teoria geomètrica de grups. Per últim, han sorgit moltes aplicacions noves dels espais mètrics finitos i discrets en informàtica.

Definicions i ilustració

Archiu:Great-circle distance vs straight line distance.svg

Diagrama que ilustra la distància ortodrómica (en vert) i la distància rectilínea (en roig) entre dos punts P i Q d'una esfera.

Per a vore l'utilitat de les distintes nocions de distància, considere's la superfície de la Terra com un conjunt de punts. Podem medir la distància entre dos punts per la llongitut de la senda més curta a lo llarc de la superfície, "Distància a vol de pardal"; açò és particularment útil per al transport marítim i aéreu. També podem medir la distància en llínea recta entre dos punts a través de l'interior de la Terra; esta noció és, per eixemple, natural en sismologia, ya que correspon aproximadament a la llongitut de temps que tarden les ones sísmiques en viajar entre eixos dos punts.

La noció de distància codificada pels axioma dels espais mètrics té relativament pocs requisits. Esta generalitat conferix als espais mètrics una gran flexibilitat. Al mateix temps, la noció és lo suficientment forta com per a codificar molts fets intuïtius sobre el significat de la distància. Açò significa que els resultats generals sobre espais mètrics poden aplicar-se en molts contexts diferents.

Com a molts conceptes matemàtics fonamentals, la mètrica d'un espai mètric pot interpretar-se de moltes formes distintes. Pot ser que la millor manera d'interpretar una mètrica concreta no siga com una mida de la distància física, sino com el cost de canviar d'un estat a un atre (com ocorre en la mètrica de Wassersteins en espais de midas) o el grau de diferència entre dos objectes (per eixemple, la distància de Hamming entre dos cadenes de caràcters, o la distancia de Gromov-Hausdorff entre els propis espais mètrics).

Definició d'espai mètric

Archiu:Manhattan distance.svg

El pla (un conjunt de punts) pot estar dotat de diferents mètriques. En la mètrica del taxi els camins roig, groc i blau tenen la mateixa llongitut (12), i són tots camins més curts. En la mètrica euclídea, el camí vert té llongitut <$6\sqrt{2}\approx 8.49$, i és l'únic camí més curt, mentres que els camins roig, groc i blau seguixen tenint llongitut 12.

Formalment, un espai mètric és un conjunt $M$ (als elements del qual se'ls denomina punts i se solen denotar en lletres mayúscules) en una aplicació distància associada (també cridada una mètrica):

$\begin{array}{ccccc}d& :& M\times M& ⟶& ℝ\\ & & (x,y)& ⟼& d(x,y)\end{array}$

(a on $ℝ$ denota al conjunt dels número real). Esta aplicació $d$, deu satisfer els següents axioma o propietats per a ser una mètrica:

1. $\mathrm{\forall }X,Y\in M:d(X,Y)=0⟺X=Y$
2. $\mathrm{\forall }X,Y\in M:d(X,Y)=d(Y,X)$
3. $\mathrm{\forall }X,Y,Z\in M:d(X,Y)+d(Y,Z)\ge d(X,Z)$ (Desigualtat Triangular)

Si la mètrica $d$ no és ambigua, a sovint es parla per abús de notació de "l'espai mètric $M$", en lloc de "l'espai mètric $(M,d)$".

Dels tres axioma anteriors es pot obtindre com a conseqüència directa la no negatividad de $d$:

Daus dos punts qualssevol $A,B\in M$, de la desigualtat triangular (en $A=X=Z$ i $B=Y$) obtenim que $d(A,B)+d(B,A)\ge d(A,A)$. Després, com $d(A,A)=0$ (per la propietat 1), i $d(A,B)=d(B,A)$ (per la propietat 2), $2d(A,B)\ge 0⟹d(A,B)\ge 0$. I com $A,B\in M$ són dos punts qualssevol, podem dir que: $\mathrm{\forall }A,B\in M:d(A,B)\ge 0$.

Algunes definicions associades a un espai mètric

AP Siga $(M,d)$ un espai mètric, i siguen $A\in M$ i $r\ge 0$ respectivament:

• Es diu bola (oberta) centrada en $A$ i de radi $r$, al subconjunt de $M$: $\{X\in M\mid d(X,A)<r\}$, denotat usualment com $B(A,r)$, o com $B_r(A)$.
• Es diu bola tancada centrada en $a$ i de radi $r$, al subconjunt de $M$: $\{X\in M\mid d(X,A)\le r\}$, denotat usualment com $B_c(A,r)$ o com $\bar{B}(A,r)$ o també com ${\bar{B}}_r(A)$.
• Es diu esfera centrada en $A$ i de radi $r$, al subconjunt de $M$ dau per $\{X\in M\mid d(X,A)=r\}$, denotat usualment com $S(A,r)$, o com $S_r(A)$.
• En anàlisis funcional la terminologia pot dur una miqueta a confusió, puix a la bola oberta de radi $r$ i centre $A$ li la sol denotar per $U(A,r)$ o per $U_r(A)$, mentres —i ací ve la possible confusió— a la bola tancada de centre $A$ i ràdio $r$ li la denota per $B(A,r)$ o per $B_r(A)$.
• Alguns autors utilisen l'expressió disc en lloc de bola, aixina és que es pot parlar en térmens de disc obert i disc tancat. En particular, esta terminologia s'utilisa en Variable Complexa, i quan es considera la distància euclídea sobre el conjunt ${ℝ}^2$.

Topología d'un espai mètric

La distància $d$ de l'espai mètric induïx en $M$ una topología, i per tant l'espai és, a la seua volta, un espai topològic en prendre com a subconjunts oberts per a la topología a tots els subconjunts $U$ que complixen

$(\mathrm{\forall }u\in U)(\mathrm{\exists }\epsilon \in {ℝ}^{+}|B(u,\epsilon )\subset U)$.

Açò és a tots els subconjunts $U$ per als quals qualsevol punt en $U$ és el centre d'alguna bola de radi positiu totalment inclosa en $U$, o lo que és lo mateix: O no té punts en la frontera; no té frontera.

Dita topología es denomina topología induïda per $d$ en $M$.

Podem llavors interpretar intuitivamente que un conjunt obert és llavors una part que té un cert "gruixa" al voltant de cada u dels seus punts.

Un subespacio mètric $(E,d)$ d'un espai mètric $(M,d)$ és subespacio topològic de l'espai topològic $(M,T)$, a on $T$ és la topología en $M$ induïda per $d$. És dir, $E$ hereta de $M$ la topología induïda per $d$.

Un entorn $V$ d'un punt $a$ d'un espai mètric $M$ no és més que un subconjunt $V\subset M$ de manera que existixca un $r>0$ tal que la bola oberta $B(a,r)\subset V$. El conjunt $\{B(a,r):a\in M,r\in ℝ,r>0\}$ és base de la topología induïda per $d$, i també és base d'entorns de dita topología. Com $\mathbb{Q}$ és dens en $ℝ$, resulta llavors que $\{B(a,r):a\in M,r>0,r\in \mathbb{Q}\}$ també és base d'entorns de la topología induïda per $d$. En conseqüència, tot espai mètric complix el Primer Axioma de Numerabilidad.

Tot espai mètric és espai de Hausdorff. Ademés, de la mateixa manera que ocorre en espais pseudométricos, per als espais mètrics són equivalents les següents propietats: ser espai de Lindelöf, complir el Primer Axioma de Numerabilidad i ser separable.

Sistemes axiomàtics alternatius

Alguns autors usen la recta real estesa i admeten que la distància prenga el valor $\mathrm{\infty }$. Qualsevol mètrica tal pot ser reescalada a una mètrica finita (usant $d^{\prime }(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))$ o $d^{″}(x,y)=\min (1,d(x,y))$) i els dos conceptes d'espai mètric són equivalents en lo que a topología es referix.

Una mètrica és cridada ultramétrica si satisfà la següent versió, més forta, de la desigualtat triangular:

$\mathrm{\forall }x,y,z\in M,d(x,z)\le \text{max}(d(x,y),d(y,z))$.

Si s'elimina l'implicació cap a la dreta de la propietat 1, s'obté un espai pseudométrico. En estos espais, poden existir punts diferents la distància dels quals entre ells siga $0$.

Traent, en canvi, la propietat 2, s'obté un espai cuasimétrico. No obstant, perdent-se simetria en este cas, s'aclarix, usualment, la propietat 1 per a que abdós $d(X,Y)=d(Y,X)=0$.

Totes les combinacions de lo anterior són possibles i referides per les seues nomenclatures respectives (per eixemple com quasi-pseudo-ultramétrico).

Espai mètric totalment acotat

Un espai mètric $(X,d)$ es dirà totalment acotat si i solament si complix la següent propietat:

$\mathrm{\forall }r>0,\mathrm{\exists }{x}_1,\mathrm{...}{x}_k\in X$ tal que $\underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}B(x_i,r)\supseteq X$

Es complix que tot espai totalment acotat és també acotat. Ademés, tot compacte és totalment acotat. Esta propietat és útil precisament per a demostrar compacidad, puix es té que existix equivalència entre ser compacte i ser totalment acotat i complet. De fet, per a moltes demostracions és precisament esta caracterisació de compacidad la que s'utilisa.

Eixemples

• Siga $X$ un conjunt qualsevol no buit i definim $d$ com

$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }x=y\\ 1& \text{si }x\ne y\end{array}$

Llavors $d$ és una mètrica en $X$, cridada mètrica discreta i $(X,d)$ és un espai mètric. $(X,d)$ es diu espai discret; vore Anàlisis real de Haaser i Sullivan.

• Els número real en la funció distancia $d(x,y)=|y-x|$ donada pel valor absolut, i, més generalment, un n-espai euclídeo en la distància euclidiana, són espais mètrics complets. El sistema dels número complejo $ℂ$ és un espai mètric que, com a tal, és igual a $ℝ\times ℝ$.
• Més generalment encara, qualsevol espai vectorial normado és un espai mètric definint $d(x,y)=\Vert y-x\Vert$. Si tal espai és complet, ho cridem espai de Banach.
• Si $X$ és un conjunt i $M$ és un espai mètric, llavors el conjunt de totes les funcions acotades $f:X\to M$ (i.i. aquelles funcions l'image de les quals és un subconjunt acotat de $M$) pot ser convertit en un espai mètric definint $d(f,g)=\underset{x\in X}{\sup }d(f(x),g(x))$ per a qualssevol funcions acotades $f$ i $g$. Si $M$ és complet, llavors este espai és complet també.
• Si X és un espai topològic i M és un espai mètric, llavors el conjunt de totes les funcions contínues acotades de X a M forma un espai mètric si definim la mètrica com abans: d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) para qualssevol funcions contínues acotades f i g. Si M és complet, llavors este espai és complet també.

• Si M és un espai mètric, podem convertir al conjunt K(M) de tots els subconjunts compactes de M en un espai mètric definint distància de Hausdorff d(X, I) = inf{r: per a cada x en X existix un i en I en d(x, i) < r i per a cada i en I existix un x en X en d(x, i) < r). En este mètrica, dos elements estan prop un d'un atre si cada element d'un conjunt està prop d'un cert element de l'atre conjunt. Es pot demostrar que K(M) és complet si M és complet.

Un anàlisis llògic

• El concepte mètric fonamental és el de funció curta, els morfismos de la categoria mètrica (els isomorfismes, i.i. aplicacions bi-curtes, són les isometrías), pero la seua expressió usual usa l'orde i la suma en els reals positius després,
• 1) És obvi que : | x - |x - i | | = i és lo mateix que x = 0 o i ≤ x, després distancia en els reals positius dona orde dèbil allí, orde forta (i ≤ x ssi ... ) és difícil, pero possible, si s'accepta una solució de |x - i | = i i.i. i = x / 2.
• 2) | d(i, z) - |d(i, z) - d´(f(i), f(z)) | | = d´(f(i), f(z)) expressa que f és una funció curta, sense cap referència a un orde en els reals positius.
• 3) La següent equivalència de la desigualtat triangular

| d(x, i) - d(x, z) | ≤ d(i, z)

expressa (sense cap referència a una operació en els reals positius, |x - i| és la distància allí) el fet que d(x, -) és funció curta (després uniforme, després contínua). d: x - > d(x,-) és una isometría.

• Reunint abdós : | d(i, z) - |d(i, z) - | d(x, i) - d(x, z) | | | = | d(x, i) - d(x, z) | expressa desigualtat triangular directament.
• un lleu canvi : | d(i, z) - |d(z, i) - | d(x, i) - d(x, z) | | | = | d(x, i) - d(x, z) | expressa desigualtat triangular i simetria (fer z = x i usar | x - d(i, i)| = x).

Espais metrisables

Un espai topològic $(X,T)$ es diu que és metrisable quan existix una distància $d$ la topología induïda de la qual siga precisament la topología $T$.

Un problema fonamental en Topología és determinar si un espai topològic dau és o no metrisable. Existixen diversos resultats al respecte.

Teorema de metrización de Urysohn

Tot espai topològic regular que complixca el segon axioma de numerabilidad és metrisable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condició suficient)

Tot espai regular en una base numerable localment finita és metrisable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condició necessària)

Tot espai metrisable té una base numerable localment finita.

Teorema de metrización de Stone

Tot espai metrisable és paracompacto.

Teorema de metrización de Smirnov

Un espai topològic és metrisable si i solament si és paracompacto i localment metrisable.

Teorema de metrización d'espais completament separables

Un espai topològic completament separable és metrisable si i solament si és regular.

Vore també

• Topología
• Desigualtat triangular
• Lipschitz contínua
• Isometría, contracció i funció curta
• Recta real estesa
• Mida de Lebesgue
• Funció distancia en signe
• Interval

Bibliografia

• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4
• Espais Mètrics (Wikilibro) [1]