Desigualtat triangular

Desigualtat del triàngul.

La desigualtat triangular és un teorema de geometria euclidiana que establix:

Este resultat ha segut generalisat a atres contexts més sofisticats com a espais vectorials. Definit matemàticament, qualsevol triàngul complix la següent propietat:

$a<(b+c),b<(a+c),c<(a+b)$

a on a, b i c són els costats.

Espais vectorials normados

La teorema es demana com a axioma per a definir els espais vectorials normados (espais vectorials a on hi ha una norma $\Vert \cdot \Vert$ definida), resultant en la següent versió de la desigualtat triangular:

En particular, la recta real és un espai vectorial normado en el valor absolut com a norma. Entre atres condicions, se satisfà la desigualtat triangular:

la demostració del qual és:

Demostració

(Àmbit → ℝ). Fent us de les propietats del valor absolut, és possible escriure:

$-|a|\le a\le |a|$

$-|b|\le b\le |b|$

Sumant abdós inecuaciones:

$-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$

A la seua volta, usant la propietat de valor absolut $|c|\le d$ si i solament si $-d\le c\le d$ en la llínea de dalt queda:

$|a+b|\le |a|+|b|$

Generalisació de la desigualtat triangular per a qualsevol número de sumants

La desigualtat triangular pot generalisar-se a un número arbitrari de sumants:

$|x_1+x_2+\cdots +x_n|\le |x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$,

és dir:

$\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|\le \sum _{i=1}^n|x_i|.$

a on n és un número natural, i els $x_i$ són número real.

Desigualtat de Minkowski

La desigualtat triangular pot generalisar-se encara més per a integrals (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

aixina com també para espais L^p. Siga S un espai mesurable, siga 1 ≤ p ≤ ∞ i siga f i g elements de L^p(S). Llavors f + g és de L^p(S), i es té

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

en l'igualtat per al cas1 < p < ∞ si i només si f i g són positivament linealment depenents (que significa que f = λg o g = λf per a algun λ ≥ 0).

Esta desigualtat es diu desigualtat de Minkowski i està demostrada en el seu propi artícul. Igual que la desigualtat de Hölder, la desigualtat de Minkowski es pot especificar per a successions i vectores fent:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

per a tots els números reals (o complexos) x₁, ..., x_n, i₁, ..., i_n i a on n és el cardinal de S (el número d'elements de S).

Vore també

• Desigualtat de Cauchy-Schwarz

Bibliografia

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4