Desigualtat de Minkowski

En anàlisis matemàtic, la desigualtat de Minkowski establix que els espais L^p són espais vectorials en una norma. Siga $S$ un espai mesurable, siga $1\le p\le \mathrm{\infty }$ i siguen $f$ i $g$ elements de $L^p(S)$. Llavors $f+g$ és de $L^p(S)$, i es té

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

en l'igualtat per al cas $1<p<\mathrm{\infty }$ si i només si $f$ i $g$ són positivament linealment depenents (lo que significa que $f=\lambda g$ o $g=\lambda f$ per a alguna $\lambda \ge 0$).

La desigualtat de Minkowski és la desigualtat triangular en $L^p(S)$.

De la mateixa manera que la desigualtat de Hölder, la desigualtat de Minkowski pot especificar-se per a successions i vectores a pur de fer:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

per a tots els números reals (o complexos) $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ i a on $n$ és el cardinal de $S$ (el número d'elements de $S$).

Demostració

Primer es demostra que f + g té una p -norma finita si f i g abdós la tenen. Açò se seguix de que

$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p)$

En efecte, usant el fet de que $h(x)=x^p$ és una funció convexa sobre ${ℝ}^{+}$ (per a $p$ major que 1) i, per tant, que, si a i b són abdós positius, llavors

${(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)}^p\le \frac{1}{2}{a}^p+\frac{1}{2}{b}^p$

tenim que

$(a+b{)}^p\le 2^{p-1}{a}^p+2^{p-1}{b}^p$

Ara, es pot parlar llegítimament de $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ . Si és zero, llavors es complix la desigualtat de Minkowski. Podem supondre, puix, que $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ no és zero. Usant la desigualtat de Hölder,

$\Vert f+g{\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu$

$\le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$=\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le }({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}$

$=(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}$

D'a on s'obté la desigualtat de Minkowski multiplicant abdós costats per $\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}$. $◻$

Referències

• Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G. (1988). Inequalities, 1952a ed. edició, Cambridge: Cambridge University Press, p. xii+324. ISBN 0-521-35880-9.
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104