Funció convexa
En matemàtica, una funció real és convexa en un interval (a,b), si la corda que unix dos punts qualssevol en el grau de la funció queda per damunt de la funció.
Igualment, si la funció es definix (o sobre un domini convexo), dita funció serà convexa si la corda definida pels valors de la funció en dos punts qualssevol de dit domini queda per damunt de la n-superfície que constituïx el grafo de la funció.
Definició
[editar | editar còdic]
Una funció real f definida en un interval (o en qualsevol subconjunt convexo d'algun espai vectorial) es diu funció convexa si està definida sobre un conjunt convexo C i per a qualssevol dos punts x, i membres de C, i per a cada t en [0,1], es complix que:
En atres paraules, una funció és convexa si i solament si la seua epigrafo (el conjunt de punts situats en o sobre el grafo) és un conjunt convexo.
Una funció estrictament convexa és aquella en que
per a qualsevol t en (0,1) i
Una funció és cóncava si la funció és convexa.
Propietats
[editar | editar còdic]
Una funció convexa f definida en un interval obert C és contínua en C i diferenciable en tots els punts menys en un conjunt numerable. Si C és tancat, llavors f pot no ser contínua en els punts crítics o finals de C.
Una funció és punt-mig convexa (midpoint convex) en un interval "C" si
per a tot x i i en C. Esta condició és solament llaugerament més relaixada que la de convexidad. En particular, una funció contínua que és punt-mig convexa serà també convexa.
Una funció diferenciable d'una variable és convexa en un interval si i solament si el seu derivada és monòtonament no-decreixent en eixe interval.
Una funció contínuament diferenciable d'una variable és convexa en un interval si i solament si la funció es troba per damunt de totes les seues tangentes: f(i) ≥ f(x) + f '(x) (i − x) para tot x i i en l'interval. En particular, si f '(c) = 0, després c és un mínim absolut de f(x).
Una funció doblement diferenciable d'una variable és convexa en un interval si i solament si la seua segona derivada és no negativa en eixe interval; açò proporciona una prova pràctica per a verificar convexidad. Si la segona derivada és positiva, llavors és estrictament convexa, pero la doble implicació no es complix, com podem vore per eixemple en f(x) = x4.
En general, una funció contínua doblement diferenciable de moltes variables és convexa en un conjunt convexo si i solament si el seu matriu Hessiana és definida positiva en l'interior d'eixe conjunt convexo.
Qualsevol mínim local d'una funció convexa és també un mínim absolut. Una funció estrictament convexa tindrà a lo més un mínim absolut.
Per a una funció convexa f, els conjunts de nivell {x | f(x) < a} i {x | f(x) ≤ a} en a ∈ R són conjunts convexos. No obstant, una funció els conjunts de la qual de nivell són conjunts convexos pot no resultar ser convexa; una funció d'este tipo es diu funció cuasi-convexa.
l'inecuación de Jensen s'aplica a tota funció convexa f. Si és una variable aleatòria que pren valors en el domini de f, llavors (Ací denota l'esperança matemàtica.)
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, i Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlín: Springer.
- Mark Krasnosel'skii, Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces, Groningen: P.Noordhoff Ltd.
- Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Función convexa» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.