Extrems d'una funció

Extrems d'una funció

Extrems d'una funció.

En matemàtiques, els màxims i mínims d'una funció, coneguts colectivamente com a extrems d'una funció, són els valors més grans (màxims) o més menuts (mínims), que pren una funció en un punt situat ya siga dins d'una regió en particular de la curva (extrem local o relatiu) o en el domini de la funció en la seua totalitat (extrem global o absolut). De manera més general, els màxims i mínims d'un conjunt (com es definix en teoria de conjunts) són els elements major i menor en el conjunt, quan existixen. El localisar valors extrems és l'objectiu bàsic de l'optimisació matemàtica.

Extrems relatius o locals

Siga $f:A\subset {ℝ}^n⟶ℝ$, siga $x_0\in A$ i siga $P=(x_0,f(x_0))$ un punt pertanyent a la gràfica de la funció.

Es diu que $P$ és un màxim local de $f$ si existix un entorn reduït de centre $x_0$, en símbols $E^{\prime }(x_0)$, a on para tot element $x$ de $E^{\prime }(x_0)\subset A$ es complix $f(x)\le f(x_0)$. Per a que esta propietat posseïxca sentit estricte deu complir-se $f(x)<f(x_0)$.

Análogamente es diu que el punt $P$ és un mínim local de $f$ si existix un entorn reduït de centre $x_0$, en símbols $E^{\prime }(x_0)$, a on para tot element $x$ de $E^{\prime }(x_0)$ es complix $f(x)\ge f(x_0)$.

Extrems absoluts o globals

Siga $f:A\subset {ℝ}^n⟼ℝ$, siga $x_0\in A$ i siga $P=(x_0,f(x_0))$ un punt pertanyent a la gràfica de la funció.

Es diu que P és un màxim absolut de f si, per a tot x distint de $x_0$ pertanyent al subconjunt A, la seua image és menor o igual que la de $x_0$. Açò és:

Análogament, P és un mínim absolut de f si, per a tot x distint de $x_0$ pertanyent al subconjunt A, la seua image és major o igual que la de $x_0$. Açò és:

$P(x_0,f(x_0))$ mínim absolut de $f⟺\mathrm{\forall }x\ne x_0,x\in A,f(x_0)\le f(x)$.

Vore també

Punt crític

Punt frontererizo

Punt estacionario

Punt singular

• Punt d'inflexió
• Extrems d'una funció
• Singularitat matemàtica
• Classificació de discontinuïtats
• Criteri de la primera derivada
• Criteri de la segona derivada
• Criteri de la tercera derivada
• Criteri de la derivada de major orde
• Punt de cadira