Singularitat matemàtica

Archiu:Essential singularity.png

Representació cromàtica de la funció complexa f(z)=exp(1/z). En l'image s'aprecia una singularitat essencial en l'orige de coordenades z=0

Dins de l'àmplia varietat de funcions matemàtiques existents es troben algunes que presenten comportaments estranys i inesperats quan se li assignen determinats valors a la/s variable/s independent/s. Dit comportament es descriu en el nom de singularitat de la funció.

Explicació senzilla

En matemàtiques es parla de singularitat en una situació en la que les regles, per aixina dir-ho, fallen. Una funció ben definida dona un resultat que no té sentit. És fàcil vore-ho en alguna cosa tan bàsic com la divisió entre un número racional. Si dividim una cantitat entre un número molt menut, el resultat és molt gran. No obstant, el resultat de dividir un número qualsevol entre zero no està res clar. Per eixemple: 40 / 0 = . . . . El resultat correcte seria un número que multiplicat per 0 donara quaranta, i eixe número evidentment no existix, puix qualsevol cantitat multiplicada per zero dona zero. O siga, que eixa operació tan senzilla no té resultat.

Concepte intuïtiu de continuïtat

Intuitivamente s'associa l'idea de continuïtat d'una funció al fet de no alçar el llapis quan es representa la funció. Les discontinuïtats generalment es classifiquen en varis tipos, sent les cridades de bot un dels tipos més freqüents. Dins de dit tipo existixen les discontinuïtats de bot puntuals, en les que la funció es desvia un únic punt del camí més raonable; les discontinuïtats de bot finito, en les quals la funció bota un valor i proseguix de forma contínua a partir d'ahí; i per últim les discontinuïtats de bot infinit, en les que la funció alcança un valor infinit. Estes últimes són les que reben el nom de singularitats.

Criteri d'anàlisis de continuïtat en funcions d'una variable:

Una funció $f$ és contínua en $x=c$ si i només si:

1. $f(c)$ està definit.
2. Existix el llímit de $f(x)$ quan $x$ tendix a $c$.
3. El llímit de $f(x)$ quan $x$ tendix a $c$ coincidix en $f(c)$.

Vore també

• Punt crític

Punt fronteriç

Punt estacionario

Punt singular

• Punt d'inflexió
• Extrems d'una funció
• Classificació de discontinuïtats
• Criteri de la primera derivada
• Criteri de la segona derivada
• Criteri de la tercera derivada
• Criteri de la derivada de major orde
• Punt de cadira