Punt singular

Archiu:Función real continua dk.svg

Un punt singular d'una funció és un punt a on la funció és contínua pero la derivada en dit punt és discontínua (més exactament té una discontinuïtat no evitable de primera espècie).

1. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$, funció contínua.
2. $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}\ne \underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}$, no derivable.

Els punts singulars són els únics punts en a on una funció és contínua, pero no pot traçar-se una recta tangente a la funció en dit punt.

En un punt singular, açò no es complix, les derivades no laterals formen un àngul no pla lo que li dona el nom a este tipo de punt, també es denominen punts angulosos. Ademés, com a conseqüència, no existix la normal en este punt. Ademés existixen funcions tals que tots els seus punts són angulosos, o més exactament a on no existix la derivada en cap punt a pesar de que el seu grafo és una curva contínua, un dels primers eixemples d'este tipo de funcions ho va constituir la funció de Weierstrass:

sent els número real a i b tals que:

$ab>1+\frac{3}{2}\pi .$

Eixemples

Archiu:Función continua 11.svg

Funció contínua i no derivable en a

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}=-\mathrm{\infty }$

Funció creixent per a x < a.

Funció decreixent per a x > a.

Per a x < a és Funció convexa.

Per a x > a és Funció convexa.

Per a x = a màxim relatiu.

---

Archiu:Función continua 12.svg

Funció contínua i no derivable en a

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}<0$

Funció creixent per a x < a.

Funció decreixent per a x > a.

Per a x < a és Funció convexa.

Per a x > a és Funció cóncava.

Per a x = a màxim relatiu.

---

Archiu:Función continua 13.svg

Funció contínua i no derivable en a

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}<0$

Funció creixent per a x < a.

Funció decreixent per a x > a.

Per a x < a és Funció convexa.

Per a x > a és Funció cóncava..

Per a x = a màxim relatiu.

---

Archiu:Función continua 14.svg

Funció contínua i no derivable en a

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}=0$

Funció creixent per a x < a.

Funció decreixent per a x > a.

Per a x < a és Funció convexa.

Per a x > a és Funció cóncava..

Per a x = a màxim relatiu.

---

Archiu:Función continua 16.svg

Funció contínua i no derivable en a

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}=0$

Funció creixent per a x < a.

Funció creixent per a x > a.

Per a x < a és Funció convexa.

Per a x > a és Funció convexa.

---

Archiu:Función continua 17.svg

Funció contínua i no derivable en a

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}>0$

Funció creixent per a x < a.

Funció creixent per a x > a.

Per a x < a és Funció convexa.

Per a x > a és Funció cóncava.

---

Archiu:Función continua 18.svg

Funció contínua i no derivable en a

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}>0$

Funció creixent per a x < a.

Funció creixent per a x > a.

Per a x < a és Funció convexa.

Per a x > a és Funció convexa.

---

Archiu:Función continua 19.svg

Funció contínua i no derivable en a

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{dy}{dx}=\mathrm{\infty }$

Funció creixent per a x < a.

Funció creixent per a x > a.

Per a x < a és Funció convexa.

Per a x > a és Funció cóncava.

Per a x = a és Punt d'inflexió.

---

Vore també

• Punt singular d'una curva
• Punt crític
• Punt estacionario
• Punt d'inflexió
• Extrems d'una funció
• Singularitat matemàtica
• Classificació de discontinuïtats
• Criteri de la primera derivada
• Criteri de la segona derivada
• Criteri de la tercera derivada
• Criteri de la derivada de major orde
• Punt de cadira

Bibliografia

1. Barris García; Carrillo Fernández, {{{nom2}}} (2005). Anàlisis de funcions en economia i empresa, Díaz de Sants, pp. 80. ISBN 84-7978-660-4.