Entorn (matemàtica)

Archiu:Neighborhood illust1.svg

Un conjunt $V$ en el pla és un entorn d'un punt $p$ si un chicotet disc al voltant de $p$ està contingut en $V.$.

Archiu:Neighborhood illust2.svg

Un rectàngul no és un entorn de cap dels seus cantons.

Un entorn (o veïnat) és un dels conceptes bàsics de la topología. Ademés, este concepte s'utilisa en moltes atres àrees de les matemàtiques com l'anàlisis i la teoria de la provabilitat. Intuitivamente parlant, un entorn d'un punt és un conjunt que conté al punt i a un conjunt dels punts més pròxims a ell. L'aspecte geogràfic de veïnat en un lloc es reflectix en este concepte matemàtic.

El concepte d'entorn està estretament relacionat en els conceptes de conjunt obert i punt interior.

Definició

Si (X,Τ) és un espai topològic i p és un punt pertanyent a X, un entorn de p és un conjunt V que conté un conjunt obert O que té com a element al punt p,

$p\in U\subseteq V.$

Note's que l'entorn V no té per qué ser un conjunt obert. Si V és obert es denomina entorn obert. Alguns autors especifiquen que els entorns deuen ser oberts, per lo que és important prestar conte a les diferents definicions.

El conjunt de tots els entorns d'un punt es denomina sistema complet d'entorns del punt.

Si S és un subconjunt de X, un entorn de S és un conjunt V, que conté un conjunt obert O que conté a S. Es deduïx que un conjunt V és un entorn de S si i solament si és un entorn de tots els punts de S.

$\Rightarrow \text{El conjunto }V\text{es un entorno de }S\leftrightarrow \mathrm{\forall }s\in S,s\in V$:

$\therefore S\subseteq V$:

Classes d'entorn

• Entorn reduït o entorn perforat: un entorn $V$ d'un punt $a$ és un entorn reduït si el propi punt $a$ no pertany al mateix. És dir, està compost solament pels punts propencs a $a$. Note's que, a pesar del seu nom, un entorn reduït no és un entorn pròpiament dit ya que no conté a $a$.
• Entorns oberts: un entorn $V$ d'un punt $a$ és entorn obert de $a$ si $V$ és un conjunt obert (és dir, $V\in T$).
• Entorns tancats: un entorn $V$ d'un punt $a$ és entorn tancat de $a$ si $V$ és un conjunt tancat.
• Entorn compacte: un entorn $V$ d'un punt $a$ és entorn compacte de $a$ si $V$ és un conjunt compacte.
• Entorn conexo: un entorn $V$ d'un punt $a$ és entorn conexo de $a$ si $V$ és un conjunt conexo
• Entorn conexo per camins: un entorn $V$ d'un punt $a$ és entorn conexo per camins de $a$ si $V$ és un conjunt conexo per camins.
• Entorn simplement conexo: un entorn $V$ d'un punt $a$ és entorn simplement conexo de $a$ si $V$ és un conjunt simplement conexo.
• Entorn convexo: un entorn $V$ d'un punt $a$ en un espai vectorial topològic $X$ és entorn convexo de $a$ si $V$ és un conjunt convexo.

Vore també

• Base d'entorns
• Continuïtat (matemàtica)
• Teoria de conjunts