Conjunt conexo

Un conjunt conexo és un subconjunt $C\subseteq X$ d'un espai topològic $(X,𝒯)$ (a on $𝒯$ és la colecció de conjunts oberts de l'espai topològic) que no pot ser expressat com unió disjunta de dos conjunts oberts no buits de la topología relativa.

Intuitivament, un conjunt conexo és el que apareix com una sola peça, que no es pot 'dividir' o 'partir'. En el cas de que un conjunt no siga conexo, es diu que és disconexo.

Formalment

$C\subseteq X$ és un conjunt conexo si i només si

$\mathrm{\forall }A,B\in 𝒯,A\cap B=\mathrm{\varnothing },C\subseteq A\cup B$ implica $C\subseteq A\vee C\subseteq B$

Note's que si $C=X$ i complix lo anterior, llavors es diu que $(X,𝒯)$és un espai topològic conexo.

Baixe estes definicions, es té que $C\subseteq X$ és conexo si i solament si és un espai topològic conexo per a la topología traça.

Es va a definir la conexividad en forma negativa: Un conjunt S es diu conexo, si no existix una partició del mateix en dos conjunts no buits i disjuntos S ₁ i S ₂, cap dels quals conté punts d'acumulació de l'atre. Un full de paper és un conjunt conexo, en tallar-la en dos parts es veu que cap punt d'una part és punt d'acumulació de l'atra.

Eixemples

Archiu:Connected and disconnected spaces.svg

L'espai A és conexo.
L'espai B no ho és.

Conjunts conexos

• Les esferes $S^n,n\ge 1,$ són conexas
• Un punt en ${ℝ}^n$ és conexo
• Un nuc és un conjunt conexo en $S^3$
• Un bou és un conjunt conexo en ${ℝ}^3$
• En $ℝ$, un interval tancat per la dreta o per l'esquerra és un conjunt conexo; d'igual modo un punt de la recta.
• El complementari d'un punt en ${ℝ}^n,n\ge 2,$ és conexo
• En el pla, un polígon simple en el seu interior és un conjunt conexo, considerant la topología usual.

Conjunts disconexos

Qualsevol conjunt finito que conté més d'un punt, siga en la recta, el pla o l'espai geomètric usual.

• El conjunt format per tots els punts d'un número finito de conjunts tancats $F_1,F_2,\mathrm{...}{F}_n$ sense punts comuns dos a dos. Simplificant, tots els punts de quatre círculs, ubicats en sengles quarters d'una regió quadrada.

Subconjunt conexo en la recta

Siga $ℝ$ proveït de la topología usual $T_u$, ademés $J$ un interval de $ℝ,M$ i $N$ subconjunts oberts de $ℝ$ tals que $J$ és part de l'unió de $M$ i $N,J\cap M\cap N=\mathrm{\varnothing }$. Llavors $J\cap M=\mathrm{\varnothing }\vee J\cap N=\mathrm{\varnothing }$. En este cas $J$ és un subconjunt conexo de la recta real. Un subconjunt $H$ de la recta és un subconjunt conexo de la recta real quan, i només quan es tracta d'un únic interval. De qualsevol interval basta retirar un punt, lo que queda ya no és conexo, tampoc ho és el conjunt $K=\{\frac{1}{n},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\}$

Conjunts disconexos

• El complementari d'un punt en $ℝ$
• El conjunt format per l'unió de dos esferes disjuntas en ${ℝ}^n$
• Un enllaç de $n$ components (nucs), $n\ge 2$
• El conjunt Q dels número racional no és un conjunt conexo en la topología usual de ℝ. En efecte siga m = raïl quadrada de tres. Els conjunts O = (-∞, m) i V = (m, +∞) . Es té que Q és part de l'unió d'O i V. Ademés l'intersecció de Q en O, de Q en V no és buit; pero l'intersecció d'O en V és = ∅, lo mateix que Q inter O inter V és buit. Q està contingut en l'unió de dos oberts disjuntos.
• El conjunt dels irracionals Q^c no és un conjunt conexo en l'espai (R, T_o). Prendre el punt 5 i formar dos oberts, semirrecta a l'esquerra i la dreta. I proseguir com en el cas de Q.