Conjunt simplement conexo

S^{2}

és simplement conexa ya que és conexa per camins i tot llaç pot contraure's contínuament sobre la superfície a un punt.

En topología, es diu que un espai topològic és simplement conexo quan és conexo per camins i el seu grup fonamental és el grup trivial.^[1] De forma equivalent, un espai topològic $X$ és simplement conexo si és conexo per camins i tota aplicació contínua $f : [0, 1] \to X$ que siga un llaç, és dir, que verifique $f (0) = f (1) = p$ per a algun punt $p \in X$ , és contractible de forma contínua a dit punt per mig d'una homotopía $H : [0, 1] \times [0, 1] \to X$ tal que $H (s, 0) = f (s)$ i $H (s, 1) = p$ .

En un espai simplement conexo es complix que entre tot parell de punts existix una única classe de homotopía de camins, és dir, tots els camins que els conecten són homotópos entre sí. El terme "simplement conexo" ve precisament d'esta propietat: només existix una forma, llevat homotopía, de conectar en un camí qualsevol parell de punts de l'espai.^[1]

La noció de conexió simple és crucial en la conjectura de Poincaré.

Eixemples

Informalment, un objecte és simplement conexo si està format per una sola peça i no conté forats que ho travessen.

Archiu:Runge theorem.svg

Este espai no és simplement conexo. Encara que és conexo per camins, té forats que ho travessen i per tant el seu grup fonamental no és trivial.

Archiu:Torus cycles.png

Un bou no és simplement conexo. Cap dels dos llaços coloreados pot contraure's en un punt sense abandonar la superfície.

L'espai euclídeo $ℝ^{n}$ és simplement conexo.
L'espai euclídeo sense l'orige $ℝ^{n} - {𝟎}$ no és simplement conexo. Per a $n = 1, ℝ - {0}$ no és conexo per camins; per a $n = 2, ℝ^{2} - {𝟎}$ té un grup fonamental isomorfo a $(ℤ, +)$ que és diferent al grup trivial.
L'esfera $n$ -dimensional $S^{n}$ és simplement conexa si i solament si $n \geq 2$ .
El bou és conexo per camins, pero el seu grup fonamental és isomorfo a $(ℤ \times ℤ, +)$ . Per tant, no és simplement conexo.
Tot espai contractible és simplement conexo. Lo opost no és cert; per eixemple, l'esfera $S^{2}$ és simplement conexa pero no és contractible.
Tot subespacio convexo en $ℝ^{n}$ és simplement conexo. En efecte, tot subespacio convexo és contractible.

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Hatcher, Allen. Algebraic topology, 2002 edició, Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto simplemente conexo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[hatcher-1] 1,0 ^1,1 Hatcher, Allen. Algebraic topology, 2002 edició, Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.

[1]