Grup fonamental

Per mig de llaços en base en un punt fix podem explorar l'espai topològic al que pertany. Les classes d'equivalència d'estos llaços formaran el grup fonamental.

En topología, podem associar a cada punt p d'un espai topològic X un grup que nos informa sobre l'estructura 1-dimensional de la porció d'espai que rodeja a este punt. Els elements d'este grup, cridat grup fonamental de X relatiu al punt base p, són classes d'equivalència de llaços (curves tancades) en orige en el punt p.

Existixen generalisacions a dimensió superior d'este grup, que reben el nom de grups de homotopía. El grup fonamental rep també el nom de primer grup de homotopía. D'ahí la forma comuna de notar-ho com ${\pi }_1(X,p)$.

Intuïció

Escomencem en un espai (per eixemple, una superfície), i algun punt en ell, i totes els curves que escomencen i terminen en este punt-trayectòries que escomencen en este punt, donen regressos i finalment tornen al punt de partida. Dos camins poden combinar-se de forma òbvia: recorre el primer bucle i després el segon. Dos bucles es consideren equivalents si un pot deformar-se en l'atre sense trencar-se. El conjunt de tots els bucles d'este tipo en este método de combinació i esta equivalència entre ells és el grup fonamental per a eixe espai concret.

Història

Henri Poincaré va definir el grup fonamental en 1895 en el seu artícul "Analysis situs". El concepte va sorgir en la teoria de les superfícies de Riemann, en els treballs de Bernhard Riemann, Poincaré i Felix Klein. Descriu les propietats de monodromía de les funcions de valor complex, ademés de proporcionar una completa classificació topològica de les superfícies tancades.

Definicions

Archiu:Double torus illustration.png

A lo llarc d'este artícul, $X$ és un espai topològic. Un eixemple típic és una superfície com la representada a la dreta. Ademés, $p$ és un punt en $X$ cridat punt base (com s'explica més alvance, el seu paper és més be auxiliar). L'idea de la definició del grup de homotopía és medir quàntes curves (en sentit ampli) de $X$ poden deformar-se entre sí.

Llaç

Archiu:Homotopy group addition.svg

Producte de llaços

Siga $X$ un espai topològic, i $p$ un punt fix de $X$. Un llaç en base en $p$ és una aplicació contínua $\gamma :[0,1]\to X$ que verifica $\gamma (0)=\gamma (1)=p$.

El producte de dos llaços $\alpha$ i $\beta$ basats en $p$ es denota $\alpha *\beta$ i es definix com:

$(\alpha *\beta )(s)=\{\begin{array}{cc}\alpha (2s)& 0\le s\le \frac{1}{2}\\ \beta (2s-1)& \frac{1}{2}\le s\le 1\end{array}$

Açò és, el llaç $\alpha *\beta$ primer recorre el camí de $\alpha$, pero a "doble velocitat" i despuix el de $\beta$, també a doble velocitat.

Desgraciadament, este producte no dota d'estructura de grup al conjunt de tots els llaços en base en $p$ (és fàcil comprovar que no és associatiu).

Per a resoldre este problema anem a identificar dos llaços si un pot ser "transformat de manera contínua" en l'atre per mig d'unes aplicacions anomenades homotopía.

Homotopía

Una homotopía entre dos llaços $\alpha ,\beta :[0,1]\to X$ en base en el mateix punt $p$ és una aplicació contínua $H:[0,1]\times [0,1]\to X$ tal que:

• $H(s,0)=\alpha (s)$.
• $H(s,1)=\beta (s)$.
• $H(0,t)=p$.
• $H(1,t)=p$.

Si existix tal homotopía $H$, es diu que $\alpha$ i $\beta$ són homotópicas, i es denota $\alpha {\simeq }_H\beta$.

Classes de homotopía

La relació de homotopía és una relació d'equivalència en el conjunt dels llaços en base en $p$.

Per tant, es poden considerar les classes d'equivalència baixe la relació de homotopía, que denotem com $[\alpha ]$. Estes classes d'equivalència són lo que denotem classes de homotopía. Intuitivamente una classe de homotopía representa un paquet de curves que són deformables entre sí.

Aixina mateix, podem considerar el conjunt de classes d'equivalència ${\pi }_1(X,x_0)$. Este conjunt (en l'estructura de grup que es descriu a continuació) es denomina grup fonamental de l'espai topològic $X$ en el punt base $x_0$.

Estructura de grup

Segons la definició anterior, ${\pi }_1(X,x_0)$ és només un conjunt. Es convertix en un grup (i per tant mereix el nom de grup fonamental) per mig del producte de llaços abans definit.

El producte de dos classes de homotopía $[\alpha ]$ i $[\beta ]$ es definix llavors com:

$[\alpha ]*[\beta ]=[\alpha *\beta ]$.

Pot demostrar-se que este producte és una operació ben definida sobre el conjunt ${\pi }_1(X,x_0)$ (no depén dels representants), i induïx una estructura de grup.

Dependència del punt base

Encara que el grup fonamental en general depén de l'elecció del punt base, resulta que, llevat isomorfisme (en realitat, inclús llevat isomorfisme intern), esta elecció no fa cap diferència mentres l'espai $X$ siga arc conexo.

Per tant, per als espais arc conexos, molts autors escriuen ${\pi }_1(X)$ en lloc de ${\pi }_1(X,x_0)$.

Propietats

• Si l'espai és conexo per camins, els diferents grups ${\pi }_1(X,p)$ i ${\pi }_1(X,q)$ per a dos punts $p,q\in X$ són isomorfos. Sent possible parlar de el grup fonamental de l'espai: ${\pi }_1(X)$. Este isomorfisme no és natural en general.
• Una aplicació contínua $f:X\to Y$ entre dos espais topològics induïx una aplicació del conjunt de llaços de X sobre el de llaços de Y. Esta aplicació s'induïx també sobre les classes respectives i es convertix en un homomorfisme $f_{*}$ entre els grups fonamentals definit d'esta manera: $f_{*}[\alpha ]=[f\circ \alpha ]$.
• L'assignació donada per $X\to {\pi }_1(X)$ que va de la categoria d'espais topològics a la categoria de grups és un functor.
• Este invariante pot ser calculat per mig de la tècnica de grafo de grups coneguda com el Teorema de Seifert-van Kampen. En este resultat basta descompondre l'espai en 2 espais més simples a on el grup fonamental siga conegut.

Grup de vores d'un complex simplicial

Quan l'espai topològic és homeomorfo a un complex simplicial, el seu grup fonamental pot descriure's explícitament en térmens de generadors i relacions.

Si X és un conectat complex simplicial, una aresta-trayectòria en X es definix com una cadena de vèrtiços conectats per arestes en X. Es diu que dos camins d'arestes són equivalents si un pot obtindre's a partir de l'atre canviant successivament entre una aresta i les dos arestes opostes d'un triàngul en X. Si v és un vèrtiç fix en X, una aresta-bucle en v és una aresta-ruta que escomença i termina en v. El grup de camins d'arestes I(X, v) es definix com el conjunt de classes d'equivalència d'arestes dels bucles d'arestes en v, en producte i invers definits per concatenació i inversió de bucles d'arestes.

El grup brode-trayectòria és naturalment isomorfo a π₁(|X |, v), el grup fonamental del realisació geomètrica. |X | de X. ya que només depén del 2-esquelet X² de X (és dir, els vèrtiços, arestes i triànguls de X), els grups π₁(|X |,v) i π₁(|X²|, v) són isomorfos.

El grup brode-trayectòria pot descriure's explícitament en térmens de generadors i relacions. Si T és un arbre d'expansió màxima en el 1-esquelet de X, llavors I(X, v) és canónicamente isomorfo al grup en generadors (les trayectòries-brode orientades de X que no ocorren en T) i relacions (les equivalència-brode corresponents a triànguls en X). Un resultat similar és vàlit si T se substituïx per qualsevol simplement conectat—en particular contractible—subcomplejo de X. Açò a sovint dona una forma pràctica de calcular els grups fonamentals i es pot utilisar per a demostrar que cada grup finitamente presentat sorgix com el grup fonamental d'un complex simplicial finito. També és un dels métodos clàssics utilisats para superfícies topològiques, que es classifiquen pels seus grups fonamentals.

El espai de cobertura universal d'un complex simplicial finito conectat X també pot descriure's directament com un complex simplicial utilisant camins d'arestes. Els seus vèrtiços són parells (w,γ) a on w és un vèrtiç de X i γ és una classe d'equivalència d'arestes de camins de v a w. Els k-símplices que contenen (w,γ) corresponen naturalment als k-símplices que contenen w. Cada nou vèrtiç o del k-simplex dona una aresta wu i per tant, per concatenació, un nou camí γ_o de v a o. Els punts (w,γ) i (o, γ_o) són els vèrtiços del simplex "transportat" en l'espai de cobertura universal. El grup brode-ruta actua naturalment per concatenació, preservant l'estructura simplicial, i l'espai cocient és simplement X.

És ben sabut que este método també pot utilisar-se per a calcular el grup fonamental d'un espai topològic arbitrari. Açò ho sabien sense dubte Eduard Čech i Jean Leray i va aparéixer explícitament com a observació en un artícul d'André Weil; varis atres autors com Lorenzo Calabi, Wu Wen-tsün, i Nodar Berikashvili també han publicat proves. En el cas més simple d'un espai compacte X en un recobriment obert finito en el que tots els no buit finitos interseccions de conjunts oberts en el recobriment són contractibles, el grup fonamental pot identificar-se en el grup d'arestes del complex simplicial corresponent al nervi del recobriment.

Eixemples

• En molts espais només existix una classe de homotopía de llaços, i en conseqüència, el grup fonamental és trivial. Un espai topològic en grup fonamental trivial es diu simplement conexo. Rⁿ, o qualsevol subconjunt convexo de Rⁿ ho són. L'esfera de dimensió n en n major o igual que 2 també ho és.

• L'espai topològic més simple no simplement conexo és la circumferència: el seu grup fonamental és isomorfo al grup aditiu dels número entero Z. El número entero associat a cada llaç de $S^1$ és el número de regressos que eixe llaç dona entorn a ella.

• Si X i I són dos espais topològics arcoconexos, el grup fonamental del producte X x I és isomorfo al producte dels grups d'abdós espais. Per eixemple, si per a la circumferència, ${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$. Per al bou, homeomorfo a un producte de circumferències,${\pi }_1(T^2)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$.

• El grup fonamental no té per qué ser conmutativo. Per eixemple, el grup fonamental del pla privat de dos punts ${ℝ}^2-\{a;b\}$ és isomorfo al grup lliure en dos generadors $F_2$. Estos dos generadors són les classes dels llaços que passant per un punt p rodegen a cada u dels punts eliminats. En algunes classes particulars d'espais topològics, com per eixemple en la dels grups topològics, el grup fonamental sí resulta ser sempre abeliano.

Bibliografia

• Masey, W.S. A basic course in algebraic topology. GTM 127. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X
• Munkres, J., Topology, Prentice Hall (2000) ISBN 0131816292

Bibliografia adicional

• (1978).«Infinite loop spaces».Princeton University Press.90
• (2006).«Topology and Groupoids».Booksurge.
• (2013).«Lie Groups».Springer.225doi:10.1007/978-1-4614-8024-2.
• (1963).«Introduction to Knot Theory».Springer.
• (2010).«Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007».
• «Lectures on Riemann Surfaces».
• «Algebraic Topology: A First Course».Springer.
• (1999).«Simplicial Homotopy Theory».Birkhäuser.Basel, Boston, Berlin:174
• (2003, primera edicion 1971).«Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3)».Société Mathématique de France.Paris:

xviii+327, see Exp. V, IX, X.

• (2015).«Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction».Springer.222
• (2002).«Algebraic Topology».Cambridge University Press.
• Peter Hilton i Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology for cohomology]
• «Linear Algebraic Groups».Springer.(21)

• (1972).«Introduction to Lie Algebras and Representation Theory».
• «Algebraic Topology».Dover Publications.
• «A Concise Course in Algebraic Topology».
• Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers (1955)
• «An Introduction to Algebraic Topology».Springer-Verlag.
• (2014).«Algebraic Geometry, a concise dictionary».Walter De Gruyter.Berlin/Boston:
• (1980).«A Textbook of Topology».Academic Press.
• «Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry».
• (1989).«Algebraic Topology».Springer.
• (2011).«Modern Classical Homotopy Theory».AMS.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Grup fonamental.
• Fonamental group en MathWorld.
• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem: Una discussió sobre el grup fonamental d'un espai topològic i el grup fonamental d'un conjunt simplicial (anglés)
• Animacions per a introduir el grup fonamental per Nicolas Delanoue (anglés)
• Conjunts de punts base i groupoides fonamentals: discussió en mathoverflow (anglés)
• Groupoides en matemàtiques (anglés)