Complex simplicial

Un eixemple de complex simplicial. Est consistix en 17 punts (0-símplices), 22 arestas (1-símplices), 8 triànguls (2-símplices) i 1 tetraedre (3-símplice).

En la matemàtica, un complex simplicial és un tipo particular d'espai topològic construït per mig del pegat de punts, segments de llínea, triànguls, tetraedres i demés anàlecs de dimensions superiors. Este concepte no deu ser confòs en la noció abstracta de conjunt simplicial que sorgix en la moderna teoria simplicial homotópica

Eixemple

Sean $p_0,\dots ,p_k\in {ℝ}^n$ en $k\ge 1$ que estan en posició general, l'envolvente convexa del conjunt $\{p_0,\dots ,p_k\}$ es diu k-símplice de ${ℝ}^n$ i es denota $⟨p_0,\dots ,p_k⟩$. Es prova sense dificultat que:

$⟨p_0,\cdots ,p_k⟩=\{a\in {ℝ}^n|a=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{p}_i\}$

en $\sum _{i=0}^k{\lambda }_i=1$ i ${\lambda }_i\ge 0$ per a totes les i.

Els ${\lambda }_i$ de la representació anterior es diuen coordenades baricéntricas del punt $a$. Si prenem $\{p_{i_1},\dots ,p_{i_r}\}\subseteq \{p_0,\dots ,p_k\}$, es diu que el r-símplice $⟨p_{i_1},\cdots ,p_{i_r}⟩$ és una cara de $⟨p_0,\cdots ,p_k⟩$.

Observe que un 0-símplice és un punt, un 1-símplice és un segment, un 2-símplice és un triàngul i un 3-símplice és un tetraedre.

Eixemples

• El bou: És possible triangular el bou en un vèrtiç s, tres arestes a, b, c i dos cares R i V. Partim de la representació clàssica del bou: un quadrat els costats oposts del qual es peguen i ho tallem en dos per a obtindre triànguls. D'esta manera, obtenim una estructura ∆-complexa. La Botella de Klein també es pot triangular de la mateixa manera, pero invertint la direcció d'una de les conexions entre els dos triànguls.

• La Banda de Möbius: La banda de Möbius es diferencia del bou en dos aspectes. Primer, solament es pega una aresta del quadrat, deixant l'atra lliure. Segon, es gira abans de pegar. D'ahí el diagrama opost. En esta ocasió, hi ha dos vèrtiços s i t, quatre arestes a, b, c i d, i dos cares R i V.

• El Pla proyectivo: És més difícil de visualisar, ya que no s'estén a l'espai normal. S'obté pegant les arestes de la banda de Möbius seguint el diagrama. Existix una atra forma de pegar-les, que dona com resultat una botella de Klein. (En este cas, solament hi haurà un vèrtiç, de la mateixa manera que en el bou). Ací, tenim dos vèrtiços s i t, tres arestes a, b i c, i dos cares R i V.

El bou	La banda de Möbius	El pla proyectivo

Caracterisació

Un complex simplicial (finito) és un conjunt finito de $K$- símplices de ${ℝ}^n$ que complix les dos condicions següents:

1. Si un símplice pertany a $K$, llavors totes les seues cares pertanyen a $K$.
2. Si dos símplices de $K$ es tallen, la seua intersecció és una cara comuna.

Referències

• Complex simplicial en MathWorld.
• Plantilla:Springer