Tetraedre

Per a la forma més habitual vore tetraedre regular.

Piràmide de base triangular

Modele 3D d'un tetraedre regular

Un tetraedre (del grec τέτταρες 'quatre' i ἕδρα 'assent, base de respal o cara') o piràmide triangular és un poliedre en quatre cares, sis arestes i quatre vèrtiços. Les cares d'un tetraedre són triànguls i en cada vèrtiç concorren tres cares; si les quatre cares del tetraedre són triànguls equiláteros, iguals entre sí, el tetraedre es denomina regular. Ademés és un sòlit platònic. Expressat d'una atra manera, un tetraedre és una piràmide en base triangular.^[1]

El tetraedre és el més simple de tots els poliedres convexos ordinaris i l'únic que té menys de cinc cares.^[2] És el cas tridimensional del concepte més general de símplex corresponent a la geometria euclídea, i per lo tant també pot denominar-se 3-símplex.

Com tots els poliedres, un tetraedre es pot plegar a partir d'un sol full de paper. Té dos desenrolls d'este tipo.^[3]

Per a qualsevol tetraedre existix una esfera (cridada esfera circumscrita) sobre la qual es troben els seus quatre vèrtiços, i una atra esfera (l'esfera inscrita) tangente a les cares del tetraedre.^[4]

Tetraedre regular

Artícul principal → Tetraedre regular.

Un tetraedre regular és aquell que les seues quatre cares són triànguls equiláteros. En atres paraules, totes les seues cares tenen el mateix tamany i forma (són congruents) i totes les seues arestes tenen la mateixa llongitut. El tetraedre regular és el deltaedro més simple, un poliedre que les seues cares són triànguls equiláteros; existixen atres sèt deltaedros convexos.^[5]

Tetraedres irregulars

Si els tres parells d'arestes opostes d'un tetraedre són perpendicularidad, es denomina tetraedre ortocéntrico. Quan solament un parell d'arestes opostes són perpendiculars, es denomina tetraedre semiortocéntrico.

En un tetraedre trirrectangular, els tres ànguls de les cares en un vèrtiç són àngul recte, com en el cantó d'una gaveta.

Un tetraedre isodinámico és aquell en el que els triànguls ceviana que unixen els vèrtiços als triànguls incenters de les cares opostes són triànguls concurrent.

Un tetraedre isogónico té triànguls cevianos concurrente que unixen els vèrtiços als punts de contacte de les cares opostes en els triànguls esfera inscrita del tetraedre.

Disfenoides

Artícul principal → Disfenoide.

Archiu:Oblate tetrahedrille cell.png

Un disfenoide tetraèdric que ompli l'espai dins d'una gaveta. Dos arestes tenen ànguls diedros de 90° i quatre arestes tenen ànguls diedros de 60°

Un disfenoide és un tetraedre en quatre triànguls congruents com a cares; els triànguls necessàriament tenen tots els ànguls aguts. El tetraedre regular és un cas especial de disfenoides. Atres noms per a la mateixa figura inclouen bisfenoides, tetraedre isósceles i tetraedre equifacial.

Ortoesquemas

Archiu:Triangulated cube.svg

Una gaveta disseccionada en sis ortoesquemas característics

Un 3-ortoesquema és un tetraedre que les seues quatre cares són triànguls rectágulos. Un 3-ortoesquema no és un disfenoide, ya que les seues arestes opostes no tenen la mateixa llongitut. No és possible construir un disfenoide en alguna cara que siga un triàngul rectàngul o un triàngul obtusàngul.

Un ortoesquema és un símplex irregular que és l'envolvente convexa d'un arbre en el que totes les arestes són mútuament perpendiculars. En un ortoesquema tridimensional, l'arbre consta de tres arestes perpendiculars que conecten els quatre vèrtiços en una trayectòria llineal que realisa dos girs en àngul recte. El 3-ortoesquema és un tetraedre en dos ànguls rectes en dos dels seus vèrtiços, per lo que també se li coneix com a tetraedre birrectangular. Aixina mateix, se li denomina tetraedre cuadrirrectangular, ya que conté quatre ànguls rectes.^[6]

Coxeter també denomina als tetraedres cuadrirrectangulares tetraedres característics, per la seua relació integral en els politopos regulars i els seus grups de simetria.^[7] Per eixemple, el cas especial d'un 3-ortoesquema en arestes perpendiculars d'igual llongitut és característica de la gaveta, lo que significa que la gaveta pot subdividirse en instàncies d'este ortoesquema. Si les seues tres arestes perpendiculars tenen llongitut unitària, les arestes restants són dos de llongitut Plantilla:Raïl i una de llongitut Plantilla:Raïl, per lo que totes les seues arestes són arestes o diagonals de la gaveta. La gaveta Plantilla:DCD pot dividir-se en sis ortoesquemas de 3 dimensions Plantilla:DCD de quatre maneres diferents, rodejant els sis la mateixa diagonal de la gaveta de llongitut Plantilla:Raïl. La gaveta també pot dividir-se en 48 instàncies més menudes d'este mateix ortoesquema característic de 3 dimensions (d'una sola manera, considerant tots els seus plans de simetria simultàneament). El tetraedre característic de la gaveta és un eixemple de tetraedre heroniano.

Tot politopo regular, inclós el tetraedre regular, posseïx el seu propi ortoesquema característic. Existix un ortoesquema de 3 dimensions, que correspon al tetraedre característic del tetraedre regular. El tetraedre regular Plantilla:DCD es subdivide en 24 instàncies del seu tetraedre característic Plantilla:DCD per mig dels seus plans de simetria. Els 24 tetraedres característics del tetraedre regular es presenten en dos formes simètriques, 12 de cada una.

Característiques del tetraedre regular^[8]
	Aresta	Arc		Diedro
𝒍	$2$	109°28′16″	$π - 2 κ$	70°31′44″	$π - 2 ψ$

𝟀	$\sqrt{\frac{4}{3}} \approx 1.155$	70°31′44″	$2 κ$	60°	$\frac{π}{3}$
𝝉^[9]	$1$	54°44′8″	$\frac{π}{2} - κ$	60°	$\frac{π}{3}$
𝟁	$\sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0.577$	54°44′8″	$\frac{π}{2} - κ$	60°	$\frac{π}{3}$

$_{0} R / l$	$\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1.225$
$_{1} R / l$	$\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0.707$
$_{2} R / l$	$\sqrt{\frac{1}{6}} \approx 0.408$

$κ$		35°15′52″	$\frac{arc sec 3}{2}$

Si el tetraedre regular té una llongitut d'aresta 𝒍 = 2, les sis arestes del seu tetraedre característic tenen llongituts $\sqrt{\frac{4}{3}}$ , $1$ , $\sqrt{\frac{1}{3}}$ al voltant de la seua cara exterior triangular-rectangular (les arestes opostes als ànguls característics 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[9] més $\sqrt{\frac{3}{2}}$ , $\sqrt{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt{\frac{1}{6}}$ (arestes que són els radis característics del tetraedre regular). El camí de 3 arestes en les arestes ortogonals del ortoesquema és $1$ , $\sqrt{\frac{1}{3}}$ , $\sqrt{\frac{1}{6}}$ , primer des d'un vèrtiç del tetraedre fins al centre d'una aresta del tetraedre, després girant 90° fins al centre d'una cara del tetraedre, i després girant 90° fins al centre del tetraedre. El ortoesquema té quatre cares de triànguls rectànguls disímiles. La cara exterior és un triàngul 60-90-30 que és un sext d'una cara del tetraedre. Les tres cares interiors al tetraedre són: un triàngul rectàngul en arestes $1$ , $\sqrt{\frac{3}{2}}$ , $\sqrt{\frac{1}{2}}$ , un triàngul rectàngul en arestes $\sqrt{\frac{1}{3}}$ , $\sqrt{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt{\frac{1}{6}}$ , i un triàngul rectàngul en arestes $\sqrt{\frac{4}{3}}$ , $\sqrt{\frac{3}{2}}$ , $\sqrt{\frac{1}{6}}$ .

Tetraedres que omplin l'espai

Un tetraedre que ompli l'espai s'empaqueta en còpies directament congruents o enantiomorfas (imàgens especulares) de sí mateixa per a cobrir l'espai.^[10] La gaveta es pot disseccionar en sis ortoesquemas de dimensió 3, tres levógirOs i tres dextrógirOs (un de cada tipo en cada cara de la gaveta), i les gavetes poden omplir l'espai, per lo que el ortoesquema característic de dimensió 3 de la gaveta és un tetraedre que ompli l'espai en este sentit. El ortoesquema característic de la gaveta és un dels tetraedres d'Hill, una família de tetraedres que omplin l'espai. Tots els tetraedres que omplin l'espai són congruents per tijera en una gaveta).

Un disfenoide pot ser un tetraedre que ompli l'espai en el sentit de congruència directa, com en el panal tetraèdric disfenoidal. Els tetraedres regulars, no obstant, no poden omplir l'espai per sí sols (ademés, no són congruents per tijera en cap atre poliedre que puga omplir l'espai; vore el Tercer problema de Hilbert). El panal tetraèdric-octaèdric ompli l'espai en celes de tetraedres regulars alternades i celes d'octaedres regulars en una proporció de 2:1.

Dominis fonamentals

Archiu:Coxeter-Dynkin 3-space groups es.png

En l'espai euclídeo tridimensional, existixen tres tetraedres de Goursat simples i relacionats, que poden considerar-se punts sobre i dins d'una gaveta

Un tetraedre irregular, que és el domini fonamental^[11] d'un grup de simetria, és un eixemple d'un tetraedre de Goursat, que generen tots els poliedres regulars (i molts atres poliedres uniformes) per mig de reflexions especulares, un procés conegut com construcció caleidoscópica de Wythoff.

Per als poliedres, la construcció de Wythoff dispon tres espills que formen ànguls entre sí, com en un caleidoscopio. A diferència d'un caleidoscopio cilíndric, els espills de Wythoff s'ubiquen en tres cares d'un tetraedre de Goursat, de modo que els tres es intersecan en un únic punt. El diagrama diagrama de Coxeter-Dynkin del poliedre generat conté tres nodos que representen els tres espills. L'àngul diedro entre cada parell d'espills està codificat en el diagrama, aixina com l'ubicació d'un únic punt generador, que es multiplica per les reflexions dels espills en els vèrtiços del poliedre.

Entre els tetraedres de Goursat que generen panales tridimensionals, es pot reconéixer un ortoesquema (el tetraedre característic de la gaveta), un ortoesquema doble (el tetraedre característic de la gaveta unida per una cara a la seua image especular) i el disfenoide que ompli l'espai, ilustrat dalt.^[12] El disfenoide és el ortoesquema doble unit per una cara a la seua image especular (un ortoesquema cuádruple). Per lo tant, estos tres tetraedres de Goursat, i tots els poliedres que generen per reflexió, poden ser disseccionats amprant els tetraedres característics de la gaveta.

Vore també

Referències

↑ Tetrahedron en MathWorld.
↑ Tetrahedron en MathWorld.
↑ Uehara, Ryuhei (2020). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry, Singapore: Springer, p. 64. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4469-9.
↑ «Plane and Solid Geometry».Macmillan.
294-295.
↑ Cundy, 1952.
↑ Coxeter, H.S.M.. “Trisecting an Orthoscheme”. Computers Math. Applic. 17 (1–3): 59–71. doi:10.1016/0898-1221(89)90148-X.
↑ Coxeter, 1973, §4.7 Characteristic tetrahedra.
↑ Coxeter, 1973, Table I(i); "Tetrahedron, 𝛼₃".
↑ ^9,0 ^9,1 Plantilla:Harv usa la lletra grega 𝝓 (phi) per a representar un dels tres ànguls característics 𝟀, 𝝓, 𝟁 d'un politopo regular. Perque 𝝓 s'utilisa comunament per a representar el número áureo (la constant ≈ 1.618), per a lo que Coxeter utilisa la lletra grega 𝝉 (tau), ací s'invertix la convenció de Coxeter i s'usa 𝝉 per a representar l'àngul característic.
↑ Coxeter, 1973, §3.1 Congruent transformations.
↑ Coxeter, 1973, §4.3 Rotation groups in two dimensions; notion of a fonamental region.
↑ Coxeter, 1973, §4.7 Characteristic tetrahedra.

Bibliografia complementària

<cite style="font-style:normal" id="CITAREF BallCoxeter1987"> Ball, W. W. Rouse; Coxeter, {{{nom2}}} (1987). Mathematical recreations and essays, 13.ª edició (en anglés), Nova York: Dover Publications. ISBN 0486253570.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFCampos NewmanRaeder Vogel1982">Campos Newman, Luis E.; Raeder Vogel, Pablo H. (1982). Geodèsiques: traç bàsic, Mèxic: Universitat Iberoamericana. ISBN 968859198X.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFCoxeter1961">Coxeter, H. S. M. (1961). Introduction to geometry (en anglés), Nova York: John Wiley & Sons. ISBN 0471504580.
- <cite style="font-style:normal" id="CITAREFCoxeter1971">Coxeter, H. S. M. (1971). Fonaments de geometria, Mèxic: Editorial Limusa-Wiley.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFCoxeter1973">Coxeter, H. S. M. (1973). Regular polytopes, 3.ª edició (en anglés), Nova York: Dover Publications. ISBN 0486614808.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFCritchlow1970">Critchlow, Keith (1970). Order in space: a design source book (en anglés), Nova York: Viking Press.
(1997) Polyhedra (en anglés), Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521664055.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFCundyRollett1961">Cundy, Henry Martyn; Rollett, {{{nom2}}} (1961). Mathematical models, 2.ª edició (en anglés), Londres: Oxford University Press.

<cite style="font-style:normal" id="CITAREFHilbertCohn-Vossen1944">Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1944). Anschauliche Geometrie (en alemà).
- <cite style="font-style:normal" id="CITAREFHilbertCohn-Vossen1952">Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the imagination (en anglés), New York: Chelsea Publishing Company. ISBN 0821819984.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFHoldenMorrison (née Singer)1982">Holden, Alan; Morrison (née Singer), {{{nom2}}} (1982). Crystals and crystal growing (en anglés), Cambridge: The MIT Press. ISBN 0262580500.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFHolden1971">Holden, Alan (1971). Shapes, space and symmetry (en anglés), Nova York: Columbia University Press. ISBN 0486268519.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFKappraff2001">Kappraff, Jay (2001). Connections: the geometric bridge between art and science, 2.ª edició (en anglés), Singapur: World Scientific Publishing. ISBN 9810245858.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFPugh1976">Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: a visual approach (en anglés), Berkeley: University of Califòrnia Press. ISBN 0520030567.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFSutton2002">Sutton, Daud (2002). Platonic & Archimedean solids (en anglés), Walker & Company. ISBN 0802713866.
- <cite style="font-style:normal" id="CITAREFSutton2005">Sutton, Daud (2005). Sòlits platònics i arquimedianos, Edicions Oniro. ISBN 8497541316.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFWenninger1974">Wenninger, Magnus J. (1974). Polyhedron models (en anglés), Londres: Cambridge University Press. ISBN 0521098599.
<cite style="font-style:normal" id="CITAREFWilliams1979">Williams, Robert W. (1979). The geometrical foundation of natural structure: a source book of design (en anglés), Nova York: Dover Publications. ISBN 048623729X.
Claudi Alsina: Les mil cares del poliedre 2014

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Tetraedro» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[MW1-1] Tetrahedron en MathWorld.

[MW-2] Tetrahedron en MathWorld.

[3] Uehara, Ryuhei (2020). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry, Singapore: Springer, p. 64. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4469-9.

[4] «Plane and Solid Geometry».Macmillan.
294-295.

[FOOTNOTECundy1952{{{c}}}-5] Cundy, 1952.

[6] Coxeter, H.S.M.. “Trisecting an Orthoscheme”. Computers Math. Applic. 17 (1–3): 59–71. doi:10.1016/0898-1221(89)90148-X.

[FOOTNOTECoxeter1973{{{c}}}71-72§4.7_Characteristic_tetrahedra-7] Coxeter, 1973, §4.7 Characteristic tetrahedra.

[FOOTNOTECoxeter1973{{{c}}}292–293Table_I(i);_"Tetrahedron,_𝛼<sub>3</sub>"-8] Coxeter, 1973, Table I(i); "Tetrahedron, 𝛼₃".

[reversed_greek_symbols-9] 9,0 ^9,1 Plantilla:Harv usa la lletra grega 𝝓 (phi) per a representar un dels tres ànguls característics 𝟀, 𝝓, 𝟁 d'un politopo regular. Perque 𝝓 s'utilisa comunament per a representar el número áureo (la constant ≈ 1.618), per a lo que Coxeter utilisa la lletra grega 𝝉 (tau), ací s'invertix la convenció de Coxeter i s'usa 𝝉 per a representar l'àngul característic.

[FOOTNOTECoxeter1973{{{c}}}33–34§3.1_Congruent_transformations-10] Coxeter, 1973, §3.1 Congruent transformations.

[FOOTNOTECoxeter1973{{{c}}}63§4.3_Rotation_groups_in_two_dimensions;_notion_of_a_''fonamental_region''-11] Coxeter, 1973, §4.3 Rotation groups in two dimensions; notion of a fonamental region.

[FOOTNOTECoxeter1973{{{c}}}71–72§4.7_Characteristic_tetrahedra-12] Coxeter, 1973, §4.7 Characteristic tetrahedra.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]