Domini fonamental

Domini fonamental

Archiu:Corequerschnitt EPRSymmetriesektor RK01.svg

modelización del domini fonamental d'un reactor nuclear en forma de sector circular en un àngul de 45°. Els mateixos colors indiquen les mateixes propietats físiques dels materials amprats

Archiu:Corequerschnitt EPRSpiegelsymmetrieachsen RK01.svg

Domini bidimensional simètric que té elements de simetria rotacional i eixos de simetria especular i pertany al tipo de simetria del grup diédrico $D_4$

Un domini fonamental (també àrea o regió fonamental) és una subárea conexa d'un objecte geomètric o físic en simetria, que s'elegix de tal manera que en ella no figuren repetides propietats geomètriques o físiques d'atres parts de l'objecte total.

La simetria significa que estes propietats d'un àrea espacial estan presents vàries voltes en l'objecte. En teoria de l'informació, l'informació que apareix vàries voltes en una font d'informació es designa com redundante. La redundància també ocorre en objectes de geometria i física. Si es deu a una simetria de l'objecte, llavors un domini fonamental és un mig convenient per a descriure l'objecte que està lliure d'estes redundància. En tal cas, és possible i deu llimitar-se un domini fonamental per raons pràctiques. No obstant, com en la teoria de l'informació, la redundància es pot usar intencionalment, per eixemple, per a detectar errors en les senyes d'entrada i en el còdic dels programes informàtics.

Els dos primers gràfics provenen de la branca de càlculs globals de la física dels reactors nuclears. El primer mostra una secció travessera horisontal a través de un domini fonamental, el segon una secció travessera horisontal a través de tot el reactor (de la série EPR), que està dividit en huit dominis fonamentals per les quatre llínees de simetria especular que també es mostren.

Definició

Un domini fonamental, àrea fonamental o regió fonamental d'un sòlit, d'una figura geomètrica plana o d'un objecte unidimensional en simetria, que es descriu per mig d'un grup de simetria, és qualsevol àrea conexa que no continga en el seu interior un parell de punts equivalents i que no pot ampliar-se més sense perdre esta propietat (David Hilbert i Stefan Cohn-Vossen, 1932).

El matemàtic Felix Klein, a qui es deuen importants resultats en geometria, va definir l'àrea fonamental (restringida a grups de punts) en 1884 de la següent manera: Generalment es designa una part de l'espai com el domini fonamental d'un grup de transformacions puntuals, que conté un i solament un dels punts de cada grup associat.

Un element del grup de simetria aplica cada punt del domini fonamental a un punt simétricamente equivalent en el domini total. Estos dos formen un parell de punts equivalents de la definició de Hilbert i Cohn-Vossen. També indiquen que: Ademés d'enumerar les rotacions i translacions presents en un grup, també es pot identificar cada grup en una simple figura geomètrica el domini fonamental. Per eixemple, si es coneixen les posicions dels àtoms en una regió fonamental, li les coneix en tot el cristal.

En física i química, especialment en cristalografia, es consideren àtoms, ionés i molèculas i ocasionalment es representen de manera abstracta per mig de conjunts de punts. No obstant, el cas més general és que es tracta de zones de l'espai i no de punts. En conseqüència, la definició de Hilbert i Cohn-Vossen deu estendre's a un parell de dominis espacials equivalents. Estrictament parlant, els gràfics 2D que es mostren no signifiquen objectes plans, sino objectes 3D prismáticos les propietats dels quals no depenen de la tercera dimensió (el eix z) del espai euclídeo.

Es pot elegir lliurement el domini fonamental en la que centrar-se entre vàries (o infinites). En lloc del domini fonamental que es mostra en el primer gràfic, es podria haver elegit un dels atres sèt sectors de simetria en el segon gràfic. En física computacional, el domini fonamental sol seleccionar-se d'acort en aspectes pràctics i tècnics de programació, per eixemple: ¿Quin domini fonamental és descriptivo, quin és el preferit en un àrea temàtica? ¿Cóm es poden almagasenar clarament les propietats de les subárea de l'àrea fonamental en un vector d'un programa de computadora?

Definició formal

Un domini fonamental sobre una acció és un subconjunt contigu específic d'un espai topològic. Siga $X$ un espai topològic i $G$ un grup de transformació de $X$. Per a un punt $x\in X$ es definix $G(x)$, el conjunt de totes les imàgens de $x$ entre els elements de $G$, segons l'acció descrita sobre $x$. Llavors, el conjunt $F\subset X$ es denomina domini fonamental de $X$ si per a cada $x\in X$ es complix que el conjunt $G(x)\cap F$ és monòton.