Felix Klein

Felix Klein

Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 d'abril de 1849-Gotinga, 22 de juny de 1925) va ser un matemàtic alemà que va demostrar que les #geometria mètriques, euclidianas o no euclidianas, constituïxen casos particulars de la geometria proyectiva. En 1871 va presentar una notable classificació de la geometria, el "programa de Erlangen", que va posar fi a l'escissió entre geometria pura i geometria analítica. En esta classificació, el concepte de grup eixercita un paper fonamental, ya que «l'objecte de cada geometria es convertix en l'estudi del grup de transformacions que la caracterisa».

De la mateixa manera que Bernhard Riemann, Klein considerava la teoria de funcions de variable complexa com una teoria geomètrica i va traspassar directament el concepte a la física. El seu estudi de les funcions modular seguix sent essencial per als investigadors.^{cita requerida}

Professor de l'Universitat de Gotinga (1886), va anar el fundador de la Gran enciclopèdia de les matemàtiques (1895) i un dels advocats i artífexs de la renovació de l'ensenyança de les matemàtiques en els estudis secundaris. Klein va anar ademés un important organisador de grups científics i d'activitats docents en equip. Se li considera com un dels principals contribuents a que Gotinga es transformara en un important centre per al desenroll de la matemàtica en Europa.

Du el seu nom la célebre botella de Klein, superfície en una sola cara que va descriure en 1881.

Senyes biogràfiques de la carrera acadèmica

Klein va estudiar en Bonn, sent discípul de Rudolf Lipschitz i Julius Plücker, de qui més tart va ser el seu assistent. Despuix de la mort de Plücker, Alfred Clebsch va assumir la llabor editorial de la seua obra inconclusa i va delegar en part este treball al talentós Klein. Klein va obtindre el seu doctorat en 1868 baix la tutoria de Lipschitz en un tema de geometria aplicada a la mecànica.

En 1869 va estar en l'Universitat de Berlín i va assistir allí a una càtedra de Leopold Kronecker sobre formes quadràtiques. Va participar en els seminaris d'Ernst Kummer i Karl Weierstrass, a on també va conéixer a Sophus Lie, en qui va travar amistat i va estar en 1870 en París en viage d'estudis. Per la guerra francoalemana va retornar a Alemània. Va obtindre el grau i habilitació com a professor en 1871 en Clebsch en Gotinga i va permanéixer allí entre 1871 i 1872 com a docent privat.

Per gestions de Clebsch va obtindre en 1872 una crida com a professor en Erlangen. La trayectòria de la seua carrera ho va dur en 1875 a l'Universitat Tècnica de Munich. En eixe mateix any va contraure matrimoni en Anna Hegel, una neta de Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

En l'any 1880 Klein va rebre el requeriment d'anar a Leipzig com a professor de geometria. En este periodo de Leipzig va tindre lloc la seua etapa creativa més productiva científicament. Aixina, mantenia correspondència en Henri Poincaré i es dedicava simultàneament a l'organisació de la docència. Esta doble càrrega de treball va conduir finalment a un colapse corporal. En 1886 va acceptar un nomenament en Gotinga, a on va permanéixer fins a la seua mort. Ací es va dedicar sobretot i intensivamente a les tasques d'organisació científica, mentres David Hilbert, qui havia segut cridat a Gotinga gràcies a la seua gestió en 1895 va continuar expandint la fama de Gotinga com un dels centres mundials de la matemàtica d'aquell llavors. En 1914 va obtindre el Premi Ackermann Teubner. Des de 1908 va representar a l'Universitat de Gotinga en la Cambra del Parlament de Prusia. En 1924 Klein va ser nomenat membre honorari del DMV, sent el seu president en 1897, 1903 i 1908.

Klein va ser un dels noventa y tres firmants del Manifest dels 93, publicat el 4 d'octubre de 1914, un document redactat en apoyo de l'invasió alemana de Bèlgica en les primeres etapes de la Primera Guerra Mundial.

Klein va morir en Gotinga en 1925. Va ser sepultat en el Cementeri de la ciutat en el carrer Kasseler Landstraßi de Gotinga.

Treballe

La tesis de Klein, sobre geometria llineal i les seues aplicacions a la mecànica, classificava els complexos llineals de segon grau utilisant la teoria dels divisores elementals de Weierstrass.

Els primers descobriments matemàtics importants de Klein es varen realisar durant 1870. En colaboració en Sophus Lie, va descobrir les propietats fonamentals de les rectes asintòtiques en la superfície de Kummer. Més vesprada varen investigar les curves W, curves invariantes baix un grup de transformacions proyectivas. Va ser Lie qui va introduir a Klein en el concepte de grup, que eixercitaria un paper fonamental en els seus treballs posteriors. Klein també va deprendre sobre grups de Camille Jordan.

Una botella Klein bufada a mà.

Klein va idear la "botella de Klein" que du el seu nom, una superfície tancada d'un sol costat que no pot incrustar-se en l'espai euclidiano tridimensional, pero pot sumergir-se com un cilindre enrollado sobre sí mateixa per a unir-se en el seu atre extrem des de el "interior". Pot estar immersa en l'espai euclídeo de dimensions 4 i superiors. El concepte de Botella de Klein es va idear com una banda de Möbius tridimensional, sent un método de construcció l'unió de les vores de dos bandes de Möbius.

Durant la década de 1890, Klein va començar a estudiar física matemàtica més intensament, escrivint sobre el giroscopi en Arnold Sommerfeld. Durant 1894, va iniciar l'idea d'una enciclopèdia de matemàtiques que incloguera les seues aplicacions, que es va convertir en la Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Esta empresa, que va perdurar fins a 1935, va proporcionar una important referència estàndar de valor perdurable.

Programa de Erlangen

Artícul principal → Programa de Erlangen.

En 1871, durant la seua estància en Gotinga, Klein va realisar importants descobriments en geometria. Va publicar dos artículs Sobre l'anomenada geometria no euclidiana en els que demostrava que les #geometria euclidiana i no euclidiana podien considerar-se espais mètrics determinats per una mètrica de Cayley-Klein. Esta idea tenia el corolari de que la geometria no euclidiana era consistent si i només si la geometria euclidiana lo era, donant el mateix estatus a les #geometria euclidianas i no euclidianas, i posant fi a tota controvèrsia sobre la geometria no euclidiana. Arthur Cayley mai va acceptar l'argument de Klein, per considerar-ho circular.

La #síntesis de Klein de la geometria com l'estudi de les propietats d'un espai que és invariante baix un grup de transformacions dau, coneguda com el programa de Erlangen (1872), va influir profundament en l'evolució de les matemàtiques. Este programa es va iniciar en la conferència inaugural de Klein com a professor en Erlangen, encara que no va ser el discurs real que va pronunciar en eixa ocasió. El programa proponia un sistema unificat de geometria que s'ha convertit en el método modern acceptat. Klein va mostrar cóm les propietats essencials d'una geometria donada podien representar-se per mig del grup de transformaciones que preserven eixes propietats. D'esta manera, la definició de geometria del programa comprenia tant la geometria euclidiana com la no euclidiana.

En l'actualitat, l'importància de les aportacions de Klein a la geometria és evident. S'han incorporat tant al pensament matemàtic que resulta difícil apreciar la seua novetat quan es varen presentar per primera volta, i comprendre el fet de que no anaren acceptades immediatament per tots els seus contemporàneus.

Anàlisis complex

Klein considerava el seu treball sobre anàlisis complex com la seua major contribució a les matemàtiques, concretament el seu treball sobre: El víncul entre certes idees de Riemann i la teoria de invariantes,

• Teoria de números i àlgebra abstracta;
• Teoria de grups;
• Geometria en més de 3 dimensions i equacions diferencials, especialment equacions inventades per ell, satisfetes per funció modular elípticas i funció automórficas.

Klein va mostrar que el grup modular mou la regió fonamental del pla complex para teselar el pla. En 1879, va examinar l'acció de PSL(2,7), considerada com una image del grup modular, i va obtindre una representació explícita d'una superfície de Riemann ara denominada Cuártica de Klein. Va mostrar que era una curva complexa en espai proyectivo, que la seua equació era x³i + i³z  + z³x = 0, i que el seu grup de #simetria era PSL(2,7) d'orde 168. El seu Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale (1882) tracta l'anàlisis complex de forma geomètrica, conectant teoria del potencial i mapage conforme s. Este treball es va basar en nocions de dinàmica de decorreguts.

Klein va considerar equacions de grau > 4 i estava especialment interessat en utilisar métodos transcendentals per a resoldre l'equació general de quint grau. Basant-se en els métodos de Charles Hermite i Leopold Kronecker, va produir resultats similars als de Brioschi i després va resoldre completament el problema per mig del grup icosaédrico. Este treball li va permetre escriure una série d'artículs sobre funció modular elíptica.

En el seu llibre de 1884 sobre l'icosaedre, Klein va establir una teoria de les funcions automórficas, associant l'àlgebra i la geometria. Poincaré havia publicat un esbós de la seua teoria de les funcions automórficas en 1881, lo que va donar lloc a una rivalitat amistosa entre els dos hòmens. Abdós varen intentar enunciar i demostrar un gran teorema de uniformización que establira la nova teoria de forma més completa. Klein va conseguir formular dit teorema i descriure una estratègia per a demostrar-ho. Se li va ocórrer la seua demostració durant un atac d'asma a les 2:30 de la matinada del 23 de març de 1882.

Klein va resumir el seu treball sobre automórfica i funció modular elíptica en un tractat de quatre volums, escrit en Robert Fricke a lo llarc d'uns 20 anys.

Göttingen - centre de les matemàtiques

El nomenament de Klein per a Göttingen en la Georg-August-Universität va ser impulsat pel director ministerial Friedrich Althoff del Ministeri de Cultura prusiano. En els anys següents, Althoff i Klein varen desenrollar sistemàticament l'Universitat de Gotinga fins a convertir-la en el centre matemàtic més important del món, lo que seguiria sent fins a l'expulsió de molts matemàtics alemans pels nacionalsocialistes. Ademés d'importants matemàtics com David Hilbert, Richard Courant, Hermann Minkowski, Hermann Weyl, Emmy Noether i uns atres, més tart varen aplegar a l'universitat importants físics com Walther Nernst, Max Born, James Franck i Peter Debye. La Facultat de Matemàtiques i la Facultat de Física de Gotinga es varen convertir aixina en un model per a moltes institucions internacionals d'investigació.

En 1893 Klein va viajar per primera volta als Estats Units d'Amèrica (al Coloqui de Evanston, en la Northestern University). (al Coloqui de Evanston en la Northwestern University), al que varen seguir atres viages que li varen assegurar una gran influència entre els matemàtics nortamericans, molts dels quals varen vindre a estudiar a Gotinga. En Estats Units es va inspirar per a orientar les matemàtiques de l'universitat més cap a l'aplicació. Klein va posar en pràctica en Gotinga lo que hi havia vist en Estats Units. Va buscar contacte en els ingeniers de la Verein Deutscher Ingenieure, de la que era membre, i va trobar socis en Carl Linde i Henry Böttinger. Henry Theodore Böttinger|Henry Böttinger]] que li varen proporcionar contactes en l'indústria. Açò va fer possible la creació d'un departament de física tècnica en l'ajuda de finançació de l'indústria. En 1898 es va fundar la Göttinger Vereinigung zur Förderung der angewandten Physik, la primera organisació en Alemània que vinculava l'indústria i l'universitat. Atres activitats en els anys següents varen dur a la fundació d'atres instituts en Göttingen dedicats a l'aplicació de la física o les matemàtiques. Atres científics importants varen acodir a Gotinga, com el hidrodinamista Ludwig Prandtl i el matemàtic aplicat Carl Runge.

El contrast entre les escoles dels matemàtics berlinesos (especialment Karl Weierstrass, Leopold Kronecker, Ernst Eduard Kummer), en el seu émfasis en el rigor matemàtic, i l'escola de Felix Klein (i els seus mestres, Alfred Clebsch i Julius Plücker), que favoria les investigacions geomètriques i físiques, és important per a entendre el paper de Klein en les matemàtiques alemanes de finals de el XIX. Açò va aplegar fins a l'hostilitat oberta, per eixemple en els juïns de Weierstrass (Klein preferiria dentellejar i seria un deslumbrador) i Lazarus Fuchs (que va vore el llibre d'icosaedres de Klein com una compilació en estil feuilleton del seu propi treball i el de Schwarz) quan Felix Klein estava en la llista de candidats per a succeir a Weierstrass (el berlinés es va impondre a Hermann Amandus Schwarz). El contrast entre els matemàtics de Berlín i Gotinga com a escoles dominants en Alemània va continuar en la primera mitat de el XX.

Homenages i honors

Klein va ser elegit membre estranger de la Royal Society el 10 de decembre de 1885.

La Societat Matemàtica de Londres li va otorgar la medalla De Morgan en 1893.

En 1908, durant el Congrés Internacional de Matemàtics celebrat en Roma, Klein va ser elegit president de la Comissió Internacional d'Instrucció Matemàtica (ICMI).

Va rebre la Medalla Copley en 1912.

Un asteroide del cinturó principal, descobert el 30 de març de 1997, du el seu nom: (12045) Klein.

Impacte en la posteritat

En 2008, l'Unió Matemàtica Internacional i la Comissió Internacional d'Educació Matemàtica varen llançar el “Proyecte Klein” per a publicar una obra general sobre matemàtiques. Era l'ambició de Klein. El proyecte va publicar el seu llibre Matemàtiques elementals des d'un punt de vista superior, n.º 14, el primer volum del qual està dedicat a l'aritmètica, l'àlgebra i l'anàlisis, i el segon volum a la geometria. Un tercer i últim volum completa la colecció baix el títul Matemàtiques de precisió i aproximació, publicat en 1928, despuix de la seua mort.El text va tindre immediatament un gran impacte en Alemània, pero també en tota Europa.

Felix Klein era treballador, ordenat i sistemàtic. La més impressionant de les coleccions de Göttingen és sense dubte la del Seminar-Protokolle de Felix Klein. És un registre detallat de més de 8.000 pàgines manuscrites que reunix en 29 volums quaranta anys de seminaris, conferències i cursos impartits per Klein, els seus colegues, els seus estudiants i visitants invitats. Els Protocols varen començar en els seminaris i conferències del semestre d'estiu de 1872 i varen continuar fins a la seua jubilació en 1913. Els Protocols ara poden visualisar-se digitalment gràcies a un proyecte de l'Institut Clay de Matemàtiques.

El treball editorial més ambiciós de Felix Klein va ser l'edició d'una enciclopèdia relacionada en les matemàtiques i les seues aplicacions (Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen). L'integració d'aplicacions respon a la seua convicció de que són essencials per a una millor comprensió de les matemàtiques. El primer volum va aparéixer en 1898 i l'últim en 1933, i varen anar sis en total, distribuïts en una trentena de llibres, que ocupen més de 20.000 pàgines. El cap del proyecte va ser Walther von Dyck, pero Klein va participar activament en la construcció del pla general, raó per la qual l'obra a voltes es diu "Enciclopèdia de Klein".

Vore també

• Botella de Klein
• j-invariante
• Cuártica de Klein
• Grup de Klein
• Enciclopèdia de Klein
• Homomorfisme

Bibliografia

• David Mumford, Caroline Séries, and David Wright Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. Cambridge Univ. Press. 2002.
• Tobies, Renate (with Fritz König) Felix Klein. Teubner Verlag, Leipzig 1981.
• Rowe, David "Felix Klein, David Hilbert, and the Göttingen Mathematical Tradition", in Science in Germany: The Intersection of Institutional and Intellectual Issues, Kathryn Olesko, ed., Osiris, 5 (1989), 186–213.
• Federigo Enriques (1921) L'oeuvre mathematique de Klein in Scientia.
• Roberto Rodriguez del Rio et Martine Joulia (Trad.), Unix nouvelle conception de la géométrie : Félix Klein, Barcelone, RBA Coleccionables, 2018, 155 p. (ISBN 978-84-473-9611-5)

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Felix Klein.
• Menuda nota biogràfica.
• Archivat el 24 de abril de 2017 archivat en Wayback Machine.
• Plantilla:Obra citada/núcleo.
• Del proyecte "Hiperbolia" el responsable del qual és Javier Bracho (UNAM)