Emmy Noether

Emmy Noether

Emmy Noether (pronunciat en alemà [ˈnøːtʰɐ]; Erlangen, Baviera, 23 de març de 1882 - Bryn Mawr, Pennsilvània, 14 d'abril de 1935) va ser una matemàtica alemana, d'ascendència judeua, especialiste en la teoria d'invariantes  i coneguda per les seues contribucions de fonamental importància en els camps de la física teòrica i l'àlgebra abstracta. Considerada per David Hilbert, Albert Einstein i atres personages com la dòna més important en l'història de la matemàtica, va revolucionar la teoria d'anells, la teoria de cossos i la de K-#àlgebra. En física, el teorema de Noether explica la conexió fonamental entre la simetria en física i les lleis de conservació. A pesar d'això, se li va negar la possibilitat d'un lloc digne en l'universitat pel fet de ser dòna.

Biografia

Emmy Noether va nàixer en una família judeua en la ciutat d'Erlangen; el seu pare era el matemàtic Max Noether, descendent d'una família de comerciants al por mayor d'Alemània. El pare, en gran mida autodidacta, va rebre el doctorat de l'Universitat de Heidelberg en 1868, i despuix d'eixercitar la seua llabor docent durant sèt anys, va obtindre un lloc en la ciutat d'Erlangen, a on va conéixer i posteriorment es va casar en Anada Amalia Kaufmann; mare d'Emmy. El seu primer nom era Amalie, per la seua mare i yaya materna, pero va començar a usar el seu segon nom quan era jove.

Emmy era miope i parlava en un lleu sigmatismo (cridat coloquialment «ceceo») durant l'infància. Un amic de la família va contar anys més tarde una anècdota sobre la jove Emmy, qui va resoldre en rapidea un acertijo en una festa infantil, deixant ya traslucir la seua capacitat per a la llògica a primerenca edat. A Emmy li varen ensenyar a cuinar i netejar –com era costum en la seua época– i va rebre lliçons de piano. No es va apassionar molt per cap d'estes activitats, encara que li agradava ballar i acodia a les festes que organisaven els fills dels colegues de l'universitat del seu progenitor.

Dels seus tres germans sol a Fritz Noether, naixcut en 1884, se li recorda pels seus guanys acadèmics. Despuix d'estudiar en Munich es va crear una reputació en el camp de la matemàtica aplicada. El seu germà major, Alfred, qui va nàixer en 1883, va obtindre un doctorat en química per l'Universitat de Erlangen-Núremberg en 1909, pero va morir nou anys despuix. El menor dels seus germans, Gustav Robert, va nàixer en 1889. Se sap molt poc sobre la seua vida. Sofria una malaltia crònica i va fallir en 1928.

Estudis i trayectòria professional

Emmy va estudiar el bachillerat en un colege per a chiques a on les matemàtiques no tenien gran pes. En abril de 1900 va aprovar els exàmens estatals de francés i anglés en calificació de sehr gut (‘sobreixent’), lo que la capacitava per a ensenyar idiomes en escoles femenines. Pero en 1903 es va permetre per primera volta que les dònes estudiaren en les universitats de Baviera; dos anys abans, el senat acadèmic de l'universitat havia declarat que la coeducació podria «subvertir tot l'orde acadèmic». Emmy va optar per acodir al Realgymnasium de Núremberg  per a obtindre allí, com a alumna lliure, el Abitur (títul de bachillerat que dona accés a l'universitat). Durant el semestre d'hivern 1903-1904 va estudiar en l'Universitat de Gotinga, assistint com a escoltant, ya que no la varen acceptar com a estudiant per ser dòna, a classes impartides per l'astrònom Karl Schwarzschild i els matemàtics Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein i David Hilbert. Emmy Noether no volia anar-se a estudiar a un atre país, ya que en eixa época Alemània estava liderant el desenroll en les matemàtiques. Dos anys més tart, i despuix d'aprovar un examen final, finalment va poder matricular-se en l'Universitat de Erlangen, a on impartia classes el seu pare. En 1907, baix la supervisió de Paul Gordan, va escriure la seua tesis Über die Bildung dones Formensystems der ternären biquadratischen Form (Sobre la construcció del sistema formal de la forma ternaria biquadràtica). Encara que va ser ben acollida, Noether va descriure posteriorment la seua tesis com «bazofia». S'havia convertit en la segona dòna alemana que obtenia el doctorat en matemàtiques en una universitat alemana. En 1908 es va associar al Circolo Matematico vaig donar Palermo i a l'any següent es va afiliar a la Deutschen Mathematiker-Vereinigung (Associació alemana de matemàtics). Ademés, va ser la primera dòna en presentar les seues investigacions en la Conferència Anual. Quan el seu professor Paul Gordon es va jubilar, va ocupar la seua plaça Ernest Fisher; que va ser el que li va donar l'impuls per a estudiar àlgebra abstracta.

Durant els anys 1908-1915 va impartir classes en l'Institut matemàtic de l'Universitat de Erlangen sense percebre emoluments, substituint ocasionalment al seu pare quan es trobava massa postrat per a donar classe. En 1910 i 1911 va publicar una ampliació de la seua tesis doctoral generalisant el cas de 3 variables a n variables.

En l'Universitat de Gotinga

En la primavera de 1915, Noether va ser invitada a retornar a l'Universitat de Gotinga, que en eixe moment era un centre d'investigació matemàtica de fama mundial per David Hilbert i Felix Klein. No obstant, els seus esforços per reclutar-la varen ser bloquejats pels filòlecs i històriadores de la Facultat de Filosofia, en l'argument, segons ells, de que les dònes no devien accedir a la condició de privatdozent (professor associat). Un dels membres de la facultat va protestar dient «¿qué pensaran els nostres soldats quan tornen a l'universitat i troben que se'ls demana que deprenguen posant-se als peus d'una dòna?»  Hilbert va respondre en indignació, espetant: «No veig per qué el sexe d'un candidat puga ser un argument en contra de la seua admissió com privatdozent. Despuix de tot, som una universitat, no un establiment de banys».

Noether es va anar a Gotinga a finals d'abril. Dos semanes més tarde la seua mare va morir de sobte. Prèviament havia rebut un tractament per una afecció ocular, pero es desconeix la seua naturalea i l'impacte que sobre ella va tindre la desaparició de la seua mare. Per eixes dates el pare d'Emmy es va jubilar i el seu germà es va allistar en l'eixèrcit d'Alemània per a combatre en la Primera Guerra Mundial. Va retornar a Erlangen durant algunes semanes, principalment per a ocupar-se del seu vell pare.

Durant els primers anys com a professora en Gotinga no va tindre una plaça oficial ni percebia retribució. La seua família li pagava l'estage i manutenció, sufragant d'eixe modo la seua llabor acadèmica. Freqüentment les seues classes s'anunciaven en el nom de Hilbert i tenia la consideració de «ajudant».

En l'universitat, els professors Hilbert i Klein varen escriure a Albert Einstein, qui havia demanat ajuda a l'Universitat per a abordar el marc matemàtic que explicara el principi de La Conservació de l'Energia. Per a açò, li varen demanar a Noether que colaborara, ya que consideraven que el seu coneiximent i experiència podia ser de gran ajuda.

A raïl d'açò, Emmy poc temps despuix d'aplegar a Gotinga, va mostrar la seua capacitat provant el teorema que hui en dia du el seu nom, que mostra que tota llei de conservació en un sistema físic prové d'alguna simetria diferenciable del mateix. El físic nortamericà Leon M. Lederman i Christopher T. Hill argumenten en el seu llibre Symmetry and the Beautiful Universe  que la teorema de Noether és «certament un dels més importants teoremes matemàtiques jamai provats que varen guiar el desenroll de la física moderna, possiblement al mateix nivell que el teorema de Pitágoras».

Quan va finalisar la Primera Guerra Mundial, la Revolució de Novembre va dur un canvi significatiu en els usos socials, lo que es va traduir en més drets per a les dònes. En 1919 l'Universitat de Gotinga va permetre a Noether optar a la seua habilitació (capacitat d'eixercir com a professora). L'examen oral va tindre lloc a finals de maig, i la lliçó d'habilitació la va pronunciar en èxit en juny.

Tres anys despuix va rebre una carta del Ministeri prusiano de Ciència, Art i Educació Pública en el que se li conferia el títul de nicht beamteter ausserordentlicher Professorin (Professora no funcionària extraordinària, és dir, en drets i funcions administratives llimitades). Este càrrec era un professorat «extraordinari» sense paga, no corresponent al professorat titular o ordinari, que comportava la condició de funcionari públic. Encara que es reconeixia l'importància del seu treball, el lloc encara no implicava la percepció d'un salari. Noether no va ser retribuïda per les seues classes fins que va ser designada per al seu lloc especial de Lehrauftrag für Algebra (catedràtica d'àlgebra) un any despuix.

Va continuar sent un dels membres més importants del departament de matemàtiques de Gotinga fins a 1933. Emmy era una persona propenca i es preocupava molt pels seus alumnes. No obstant, la seua manera d'ensenyar era difícil de seguir, pero aquells que l'entenien es varen convertir en fidels seguidors. A este grup d'estudiants, en concret dèu, se'ls coneixia com Noether's Boys, és dir, 'Els chics de Noether'. Estos estaven captivats pel seu coneiximent matemàtic i la seua manera de vore les coses. Alguns d'ells, com Gottfried Köthe, també es varen convertir en figures matemàtiques importants de l'época.

En 1924 el matemàtic neerlandés Bartel Leendert van der Waerden es va unir al seu círcul i pronte va començar a ser el principal expositor de les idees de Noether: el seu treball va ser el fonament del segon volum del seu influent llibre de text, publicat en 1931, Moderne Algebra. Quan va pronunciar la seua alocució en la sessió plenària de 1932 del Congrés Internacional de Matemàtics en Zuric, el seu acervo algebraic ya era mundialment reconegut. En els següents anys, el govern nazi d'Alemània va expulsar als professors judeus de les universitats, i Noether va tindre que emigrar a Estats Units en 1933. Li varen oferir un lloc en el Bryn Mawr College de Pennsilvània, a on va impartir classes durant dos anys. En 1935 va sofrir una operació de quiste ovàric i, a pesar dels signes de recuperació, va fallir quatre dies despuix, a l'edat de 53 anys.

El treball de Noether en matemàtiques es dividix en tres époques: En la primera (1908-1919), va efectuar contribucions significatives a la teoria dels invariantes i dels cossos numèrics. El seu treball sobre els invariantes diferencials en el càlcul de variacions, el cridat teorema de Noether ha segut calificat «un de les teoremes matemàtiques més importants jamai provats d'entre els que guien el desenroll de la física moderna». En la seua segona época (1920-1926), va començar treballs que «varen canviar la faç de l'àlgebra [abstracta]». En el seu artícul clàssic Idealtheorie in Ringbereichen (La teoria d'ideals en els anells, 1921) Noether va transformar la teoria d'ideals en els anells conmutativos en una poderosa ferramenta matemàtica en aplicacions molt variades. Va efectuar un us elegant de la condició de la cadena ascendent, i els objectes que la satisfan es denominen noetherianos en el seu honor. En la tercera época (1927-1935), va publicar les seues principals obres sobre #àlgebra no conmutativas i números hipercomplejos i va unir la teoria de la representació dels grups en la teoria de mòduls i ideals.

Ademés de les seues pròpies publicacions, Noether va ser generosa en les seues idees i se li atribuïx l'orige de vàries llínees d'investigació publicades per atres matemàtics, inclús en camps molt distants del seu treball principal, com la topología algebraica.

Treballs determinants per a l'àlgebra abstracta

Encara que la teorema de Noether té un profunt efecte sobre la física, entre els matemàtics és célebre per ser un dels que varen iniciar el camp del àlgebra abstracta. Com diu Nathan Jacobson en la seua introducció als Collected Papers (Artículs reunits) de Noether:

El desenroll de l'àlgebra abstracta, que és una de les més importants innovacions de les matemàtiques de el XX, es deu en gran mida a ella - per les seues publicacions, classes i influència personal sobre els seus contemporàneus.

L'obra fonamental per a l'àlgebra de Noether va començar en 1920. Quan va poder contar en la colaboració de W. Schmeidler va publicar un artícul sobre la teoria d'ideals en la que definia els ideals per l'esquerra i per la dreta en un anell. Els anys següents va publicar un artícul que es va convertir en un fita, titulat Idealtheorie in Ringbereichen, analisant la condició de la cadena ascendent en referència als ideals. Un notable algebrista, Irving Kaplansky, va calificar el seu treball de «revolucionari», i la seua publicació va donar lloc al terme anell noetheriano. També atres objectes matemàtics varen ser renombrados com «noetherianos».

En 1924, el matemàtic neerlandés Bartel Leendert van der Waerden va aplegar a l'Universitat de Gotinga. Immediatament va començar a treballar en Noether, qui li va proporcionar métodos d'incalculable valor en la conceptualización abstracta. Van der Waerden va dir posteriorment que la seua originalitat estava «absolutament més allà de qualsevol comparació». En 1931 va publicar Moderne Algebra, un text central per a este camp. El seu segon volum està enormement influenciat pel treball de Noether. Encara que Emmy no buscava el reconeiximent, Bartel va incloure com a nota en la seua sèptima edició l'observació «basat en part en les classes d'Emil Artin i I. Noether». En ocasions va permetre que els seus colegues i alumnes reberen l'atribució de les seues idees, ajudant-los a desenrollar les seues carreres a costa d'ella mateixa.

Les visites de Van der Waerden eren part d'una convergència dels matemàtics de tot lo món cap a Gotinga, que es va convertir en el centre més important de contacte entre l'investigació en física i matemàtiques. De 1926 a 1930 el topólogo rus Pavel Alexandrov va donar una classe en l'universitat. Noether i ell ràpidament es varen convertir en bons amics. Va començar a referir-se a ella com der Noether ('el Noether'), utilisant l'artícul nominatiu masculí singular alemà com a apelatiu carinyós per a mostrar el seu respecte cap a ella. Ella va intentar buscar la manera d'obtindre un lloc per a ell en Gotinga com a professor regular, pero solament va ser capaç d'ajudar-li a assegurar-se una beca de la Fundació Rockefeller. Abdós es trobaven en regularitat i gojaven discutint sobre els punts en comú de l'àlgebra i la topología. En la seua alocució en l'homenage que va rebre en 1935, Alexandrov es va referir a Emmy Noether com «el més gran matemàtic de tots els temps».

Docència i alumnat

En Gotinga, Noether va supervisar més d'una dotzena de doctorats. El primer va ser Grete Hermann, qui va defendre la seua tesis en febrer de 1925. Posteriorment va parlar reverentemente de la seua «padrina de tesis». Noether també va dirigir la tesis de Max Deuring, qui es va distinguir com a estudiant de grau i va continuar contribuint significativament en el camp del àlgebra aritmètica. Hans Fitting, a qui es coneix pel teorema de Fitting i el lema de Fitting. Zeng Jiongzhi, qui va provar el teorema de Tsen. També va treballar estretament en Wolfgang Krull, qui va fer alvançar grandemente l'àlgebra conmutativa en la seua Hauptidealsatz (teorema de l'ideal principal) i el seu teoria de la dimensió en l'àlgebra conmutativa, per a anells conmutativos.

Ademés del seu instint per a les matemàtiques, Noether va ser respectada per la seua consideració cap als demés. Encara que algunes voltes es va comportar durament contra els que li contradien, es va guanyar reputació per la seua solicitut i paciència en els alumnes nous. La seua llealtat a la precisió matemàtica va fer que un colega la calificara com una «crítica severa», pero va combinar la seua exigència de precisió en una actitut casi maternal. Un colega posteriorment la va descriure d'esta manera: «completament despresa de qualsevol egoisme i lliure de vanitat, jamai va demanar res per a sí, sino que va promoure el treball dels seus alumnes per damunt de tot».

El seu estil de vida frugal es devia a que se li varen negar els emoluments pel seu treball. No obstant, a pesar de que l'universitat va començar a retribuir-li en un chicotet salari en 1923, va continuar vivint de forma modesta. Se li va retribuir de forma més generosa al final de la seua vida, pero aforrava la mitat del seu salari per a ajudar al seu nebot, Gottfried I. Noether.

Majorment despreocupada pel seu aspecte i modals, es va centrar exclusivament en els seus estudis fins al punt d'excloure la possibilitat d'una relació romàntica o de seguir la moda. Una important algebrista, Olga Taussky-Todd, va descriure un refrigerio per a dònes, en el que Noether, totalment ficada en una discussió matemàtica, «escopinyava el seu menjar constantment i es netejava en el seu vestit, sense que açò li afectara lo més mínim». Els alumnes més preocupats per les apariències no soportaven que usara la brusa de moquero i s'desentender del seu pèl, cada volta més regirat a mida que alvançava la classe. Dos alumnes es varen acostar a ella en una ocasió en el descans d'una classe de dos hores per a expressar les seues preocupacions, pero varen ser incapaces de ficar basa en l'enèrgica discussió matemàtica que estava mantenint en atres alumnes en eixe moment.

D'acort en l'obituario pronunciat per van der Waerden despuix de la mort d'Emmy Noether, ella no seguia un programa preestablit en les seues classes, lo que frustrava a alguns alumnes. Les seues classes eren un temps de discussió espontànea en els seus alumnes, per a pensar i clarificar els problemes més alvançats del moment en matemàtiques. Alguns dels resultats més importants es varen desenrollar en estes classes, i els apunts dels estudiants varen acabar formant la base de varis texts importants, com els de van der Waerden i Deuring.

Varis dels seus colegues assistien a les seues classes, i ella permetia que algunes de les seues idees, com la del «producte creuat» (verschränktes Produkt en alemà) de #àlgebra associatives foren publicades per uns atres. Existix un registre en el que figura Noether com a professora de cursos que varen durar a lo manco cinc semestres en Gotinga:

• Hivern de 1924/25: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen (Teoria de grup i números hipercomplejos)
• Hivern de 1927/28: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Cantitats hipercomplejas i teoria de la representació)
• Estiu de 1928: Nichtkommutative Algebra (Àlgebra no conmutativa)
• Estiu de 1929: Nichtkommutative Arithmetik (Aritmètica no conmutativa)
• Hivern de 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen (Àlgebra de cantitats hipercomplejas)

Estos cursos en freqüència precedien a publicacions importants en estes àrees. Noether parlava molt ràpit —reflectint la rapidea dels seus pensaments, segons dien molts— i demanava gran concentració als seus alumnes. Aquells als que els desagradava el seu estil, se sentien a sovint alienats. Un d'ells va escriure en un quadern sobre una classe que va terminar a la 1:00 p. m.: «Són les 12:50, ¡gràcies a Deu!» Alguns alumnes pensaven que es basava massa en discussions espontànees. No obstant, els seus alumnes més aplicats es solazaban en l'entusiasme en que transmetia les matemàtiques, especialment perque les seues classes en freqüència es feyen sobre els treballs més recents que havien elaborat junts.

Va desenrollar un círcul tancat de colegues i estudiants que pensaven de forma similar i tendien a excloure a els qui no ho feyen aixina. Els outsiders que ocasionalment visitaven les classes de Noether solien passar solament 30 minuts en l'aula abans d'abandonar-la envolts en la frustració o la confusió. Un dels seus estudiants habituals va anotar aixina un d'estos incidents: «L'enemic ha segut derrotat; s'ha anat».

La devoció de Noether per la seua professió i els seus alumnes no entenia d'hores lectives. Una volta que l'edifici de l'universitat estava tancat per vacacions, va reunir a la seua classe en les escales de l'entrada, la va dur pel bosc i els va donar classe en una cafeteria local. Més vesprada, en ser relegada pel Tercer Reich, hauria d'invitar als seus alumnes a la seua casa per a discutir els seus futurs plans i conceptes matemàtics.

En Moscou

En l'hivern de 1928-29 Noether va acceptar una invitació de l'Universitat Estatal de Moscou, a on va continuar treballant en Pavel Alexandrov. Ademés de continuar en les seues investigacions, va impartir classes d'àlgebra abstracta i geometria algebraica. Va treballar en els topòlecs Lev Pontryagin i Nikolai Chebotaryov, els qui més tart varen agrair la seua contribució al desenroll de la teoria de Galois.

Encara que la política no va ser central en la seua vida, Noether es va prendre cert interés en assunts polítics, i segons Alexandrov, va mostrar un considerable respal a la revolució russa de 1917. Emmy se sentia especialment feliç per vore els alvanços soviètics en els camps de la ciència i les matemàtiques, que considerava indicatius de les noves oportunitats que brindava el proyecte bolchevique. Esta actitut li va dur problemes en Alemània, culminant en el desestage de la pensió a on vivia a causa de les protestes dels cabecilla estudiantils que es queixaven per viure en una «judeua marxista».

Noether va planejar tornar a Moscou, un encabotament en el que va rebre el respal de Alexandrov. En acabant de que deixara Alemània en 1933, va intentar obtindre una càtedra en l'Universitat Estatal de Moscou a través del Narkompros. Encara que el seu esforç no va tindre èxit, va mantindre correspondència freqüent durant els anys 1930 i en 1935 va fer plans per a tornar a l'Unió Soviètica. Mentrestant el seu germà Fritz havia acceptat un lloc en l'Institut per a l'Investigació en Matemàtiques i Mecànica de Tomsk, Rússia, despuix de perdre la seua ocupació en Alemània.

Reconeiximent

En 1932 Emmy Noether i Emil Artin varen rebre el Premi Ackermann-Teubner Memorial per la seua contribució a les matemàtiques. El premi comportava una recompensa en metàlic de 500 Reichsmarks i va ser vist com un reconeiximent oficial llarc temps demorat pels seus considerables treballs en el camp. No obstant, els seus colegues varen expressar frustració pel fet de que no fora elegida per a l'Acadèmia de Ciències de Gotinga i jamai va ser promoguda al lloc de Ordentlicher Professor (catedràtica). 

Els colegues de Noether varen celebrar el seu cinquanta natalici en 1932 al modo típic dels matemàtics: Helmut Hasse li va dedicar un artícul en els Mathematische Annalen, a on va confirmar la seua sospita de que alguns aspectes de l'àlgebra no conmutativa són més simples que els de la conmutativa provant una llei de reciprocitat no conmutativa. Açò va complaure inmensamente a Noether. Hasse també li va enviar un acertijo matemàtic, el «acertijo de sílabes mμν», que va resoldre immediatament. El acertijo s'ha perdut.

En setembre del mateix any Noether va pronunciar una alocució (großer Vortrag) al plenari del Congrés Internacional de Matemàtics de Zuric sobre els «Sistemes hipercomplejos en les seues relacions en l'àlgebra conmutativa i la teoria de números». Al congrés varen assistir huitcentes persones, entre elles els colegues de Noether Hermann Weyl, Edmund Landau i Wolfgang Krull. Hi havia quatrecents vint participants oficials i es varen presentar vintiuna #alocució al plenari. Aparentment, la posició prominent de Noether com a conferenciant era un reconeiximent de l'importància de la seua contribució a la matemàtica. El congrés de 1932 es descriu en ocasions com el punt àlgit de la seua carrera.

Expulsió de Gotinga

Quan Adolf Hitler es va convertir en Reichskanzler en giner de 1933, l'activisme nazi en el país es va incrementar dramàticament. En l'Universitat de Gotinga l'Associació d'Estudiants d'Alemània va portar a terme un atac contra lo que para ells suponia el «esperit antialemán» i en això varen ser auxiliats per un privatdozent cridat Werner Weber, antic alumne d'Emmy Noether. Les actituts antisemites varen crear un clima hostil per als professors judeus. Es recorda l'història d'un jove manifestant que entre les seues demandes parlava de que «els estudiants aris volien matemàtics aris i no matemàtics judeus».

Una de les primeres accions del govern d'Hitler va ser la Llei per a la Restauració del Servici Civil Professional que va cessar del seu lloc als funcionaris judeus i políticament sospitosos — a menys de que hagueren demostrat la seua llealtat a Alemània servint en la Primera Guerra Mundial. En abril de 1933 Noether va rebre una notificació del Ministeri Prusiano de Ciències, Art i Educació pública que li comunicava que «segons el paràgraf 3 del Còdic del Servici Civil del 7 d'abril de 1933, por la presente li retire el dret d'ensenyar en l'Universitat de Gotinga». A alguns dels colegues de Noether, incloent Max Born i Richard Courant, també els varen ser revocats els seus llocs. Noether va acceptar la decisió en calma, recolzant a uns atres durant aquells difícils moments. Hermann Weyl va escriure posteriorment que «Emmy Noether —el seu valor, franquea, el seu meninfotisme pel seu propi destí, el seu esperit conciliador, a pesar de la desolació que nos rodejava, era un consol moral». Com era d'esperar, Noether va continuar concentrada en les matemàtiques, reunint als alumnes en el seu apartament per a discutir sobre la teoria dels cossos de classes. Quan un dels seus estudiants va aparéixer vestit en l'uniforme de l'organisació paramilitar nazi Sturmabteilung (SA), no va mostrar cap signe de preocupació i, segons es va dir, inclús li va somriure més tart.

Bryn Mawr

Com a dotzenes de professors que s'havien quedat sense ocupació varen començar a buscar llocs docents anara d'Alemània, els seus colegues dels Estats Units li varen buscar assistència i oportunitats laborals. Albert Einstein i Hermann Weyl varen ser elegits pel Institut d'Estudis Alvançats de Princeton mentres que uns atres varen treballar per a trobar el patrocinador que es precisava en els tràmits d'immigració. Noether va ser contactada per representants de dos institucions educatives, el Bryn Mawr College en Estats Units i el Somerville College en l'Universitat d'Oxford, Anglaterra. Despuix d'una série de negociacions en la fundació Rockefeller, es va aprovar la concessió d'una beca per a Noether en Bryn Mawr i va obtindre un lloc allí, començant a finals de 1933.

En Bryn Mawr, Noether va conéixer i va travar amistat en Anna Wheeler, qui havia estudiat en Gotinga just ans que Noether aplegara allí. Una atra font de respal en el College va ser la presidenta de Bryn Mawr, Marion Edwards Park, qui va invitar en entusiasme als matemàtics locals per a que veren la «doctora Noether en acció». Noether i un chicotet grup d'estudiants varen treballar ràpidament en el llibre de 1930 de van der Waerden Àlgebra Moderna I i parts de la Theorie der algebraischen Zahlen d'Erich Hecke (Teoria de número algebraico, 1908).

En 1934, Noether va començar a donar classes en l'Institut d'Estudis Alvançats de Princeton per invitació d'Abraham Flexner i Oswald Veblen. També va treballar i va supervisar a Abraham Albert i Harry Vandiver. No obstant, sobre l'Universitat de Princeton (vinculada, pero distinta de l'Institut d'Estudis Alvançats de Princeton) va observar que no va ser ben rebuda en «una universitat d'hòmens, a on no s'admetia a cap dòna». Els seus dies en els Estats Units varen ser plaenters, rodejada com estava de colegues que li recolzaven i absorbien en els seus temes favorits. En l'estiu de 1934 va retornar per un curt temps a Alemània per a trobar-se en Emil Artin i el seu germà Fritz abans de dirigir-se a Tomsk. Encara que molts dels seus anteriors colegues havien segut obligats a abandonar l'universitat, va poder usar la biblioteca com a «investigadora invitada estrangera».

Decés

En abril de 1935 els meges li varen descobrir un tumor pèlvic. Preocupats per les possibles complicacions de la cirugia, li varen ordenar dos dies de repòs en llit abans de procedir a l'intervenció. Durant la mateixa varen descobrir un quiste ovàric «del tamany d'un meló». Dos tumors uterins més menuts semblaven ser benignos i no varen ser extirpats per a evitar que es prolongara l'operació. Durant tres dies semblava que la convalescència seguia un curs normal, i es va recobrar ràpidament d'un colapse circulatori que es va produir el quart dia. El 14 d'abril va perdre la consciència, la seua temperatura es va elevar a 42,5 °C i finalment va fallir. «No és fàcil dir qué li va succeir a la Doctora Noether», va escriure un dels facultatius, «és possible que hi haguera algun tipo inusual i violent d'infecció que va afectar a la base del cervell, que és a on se supon que es localisen els centres termoreguladors».

Uns dies despuix de la mort de Noether, els seus amics i aplegats en Bryan Mawr varen celebrar un servici en la seua memòria en la President Park's house. Hermann Weyl i Richard Brauer varen viajar des de Princeton i varen parlar en Wheeler i Taussky sobre la seua colega desapareguda. En els mesos que varen seguir, varen començar a aparéixer homenages per escrit per tot lo món: Al d'Albert Einstein es va unir el de van der Waerden, Weyl i Pavel Alexandrov per a presentar els seus respectes. El seu cos va ser incinerat i les cendres enterrades en el claustre de la biblioteca M. Carey Thomas Library en Bryn Mawr.

Contribució a la matemàtica i la física

En primer lloc i davant tot, Noether és recordada en les matemàtiques com algebrista i pels seus treballs en la topología. Els físics l'aprecien més pel famosa teorema que du el seu nom lloc que té conseqüències de gran alcanç per al estudi de les partícules subatòmiques i la dinàmica de sistemes. Va mostrar un agut clim per al pensament abstracte, lo que li permetia acostar-se a problemes matemàtics d'una forma original. El seu amic i colega Hermann Weyl va descriure el seu treball com a autoritat en tres époques clarament distintes:

(1) Periodo de relativa dependència, 1907-1919;

(2) Les investigacions agrupades entorn a la teoria general d'ideals 1920-1926;

(3) L'estudi de #àlgebra no conmutativas, les seues representacions per mig de transformacions llineals i les seues aplicacions a l'estudi dels cossos no conmutativos i les seues aritmètiques.Plantilla:Harv

En la primera época (1908-19), Noether es va ocupar en primer lloc dels invariantes diferencials i algebraics, començant en la defensa de la seua tesis baix la direcció de Paul Albert Gordan. Els seus horisons matemàtics es varen ampliar, i el seu treball va començar a fer-se més general i abstracte a mida que es va ser familiarizando en el treball de David Hilbert, gràcies a estretes interaccions en el successor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Despuix del seu trasllat a Gotinga en 1915, va elaborar el treball que posteriorment es va mostrar de capital importància per a la física, el teorema de Noether.

En la segona época (1920-26), Noether es va dedicar al desenroll de la teoria d'anells.

En la seua tercera época (1927-35), Noether es va centrar en l'àlgebra no conmutativa, transformacions llineals i cossos conmutativos numèrics.

Context històric

En el sigle transcorregut des de 1832 fins al decés de Noether en 1935, el camp de les mátemáticas —específicament l'àlgebra— va sofrir una profunda revolució, els ecos de la qual encara se senten. Els matemàtics dels sigles anteriors varen treballar en métodos pràctics per a resoldre tipos específics d'equacions, per eixemple les equacions cúbiques, i de quart i quint grau, aixina com problemes relacionats en la construcció de polígons regulars en regla i compàs. Començant en la prova efectuada per Carl Friedrich Gauss en 1829 de que un número primo com cinc podia ser factorizado en sancers de Gauss, l'introducció per part d'Évariste Galois del concepte de grup en 1832, i el descobriment per part de William Rowan Hamilton dels cuaterniones en 1843, les investigacions matemàtiques anaven determinant les propietats de sistemes cada volta més abstractes definits per regles cada volta més universals. Les contribucions més importants de Noether a les matemàtiques varen vindre pel desenroll d'este nou camp, l'àlgebra abstracta.

Àlgebra abstracta i begriffliche Mathematik (matemàtica conceptual)

Dos dels dos objectes més bàsics en l'àlgebra abstracta són els grups i els anells.

Un grup consistix en un conjunt dotat d'una operació que combina dos elements qualssevol i dona un tercer. L'operació deu satisfer certes condicions per a ser un grup: deu ser tancada (quan s'aplica a qualsevol parell d'elements, l'element generat deu pertànyer també al conjunt), deu ser associativa, deu tindre un element neutre (un element que combinat per mig de l'operació en qualsevol un atre dona com resultat l'element original, com sumar zero o multiplicar per un), i per a cada element deu existir un element invers.

Un anell és un conjunt dotat de dos operacions. La primera dona al conjunt estructura de grup, i la segona operació és associativa i distributiva sobre la primera operació. Pot o no ser conmutativa. Si cada element distint de zero té un invers multiplicativo (un element x tal que ax = xa = 1), l'anell es diu anell de divisió. Un cos es definix com un anell de divisió conmutativo.

Els grups s'estudien freqüentment per mig de representacions de grup. En la seua forma més general, estes consistixen en prendre un valor del grup, un conjunt, i una acció del grup sobre el conjunt, açò és, una operació externa que pren un element del grup i un element del conjunt, i dona un element del conjunt. En freqüència, el conjunt és un espai vectorial i el grup està representat per #simetria de l'espai vectorial. Per eixemple, hi ha grups que poden representar-se per mig de rotacions de l'espai. Noether va considerar este tipo de #simetria en el seu treball sobre els invariantes en física.

Una forma poderosa d'estudiar els anells és a través dels seus mòduls. Un mòdul consistix en un valor d'un anell, un atre conjunt, normalment distint del conjunt subjacent cridat el conjunt subjacent del mòdul, una operació sobre parells d'elements del conjunt subjacent del mòdul i una operació que pren un element de l'anell i un element del mòdul i dona un element del mòdul. El conjunt subjacent del mòdul i la seua operació deuen formar un grup. Un mòdul és una versió de la teoria d'anells d'una representació de grup: ignorant la segona operació de l'anell i l'operació sobre parells d'elements del mòdul determina una representació de grup. L'utilitat real dels mòduls és que els tipos de mòduls que existixen i les seues interaccions es revela l'estructura de l'anell de formes que no són evidents a partir del propi anell. Un cas especial important d'açò és un àlgebra. La paraula àlgebra significa tant un tema dins de les matemàtiques com un objecte més específic estudiat dins de la pròpia àlgebra. En esta segona accepció consistix en una elecció de dos anells i una operació que pren un element de cada anell i dona un element del segon anell. Esta operació l'efectua el segon anell en un mòdul sobre el primer. En freqüència el primer anell és un cos.

Paraules com a «element» i «operació de combinació» són massa generals i es poden aplicar a moltes situacions abstractes i del món real. Qualsevol conjunt de coses que obedixquen les regles d'una (o dos) operacions és, per definició, un grup (o anell), i obedix a totes les teoremes sobre grups (o anells). Els números eneteros i les operacions d'adició i multiplicació són solament un eixemple. Per eixemple, els elements poden ser senyes de computació en paraules, en la que la primera operació de combinació és la disjunció exclusiva i la segona és una conjunció llògica. Les teoremes de l'àlgebra abstracta són potents perque són generals. Governen molts sistemes. Es pot imaginar que poc es pot concloure sobre objectes definits en tan poques propietats, pero precisament en açò radica el llegat de Noether: descobrir lo màxim que es puga concloure a partir d'un conjunt donat de propietats, o dit d'un atre modo, identificar el mínim de les propietats essencials d'una observació en particular. A diferència de la major part dels matemàtics, no va realisar #abstracció generalisant a partir d'eixemples coneguts. En lloc d'això va treballar directament en les #abstracció. Com va recordar van der Waerden en el obituario d'Emmy:

La màxima per la que es guiava Emmy Noether a lo llarc de la seua obra podria ser formulada com seguix: «Qualsevol relació entre números, funcions i operacions es fa transparent, generalment aplicable i completament productiva solament si ha segut aïllada a partir d'objectes particulars i formulada com a conceptes universalment vàlits».

Açò és la cridada begriffliche Mathematik (matemàtica conceptual) que és característica de Noether. Este estil de matemàtiques va ser adoptat per atres matemàtics, i despuix de la seua mort va florir en noves formes com la teoria de categories.

Sancers com a eixemple d'un anell

Els sancers formen un anell conmutativo els elements del qual són els sancers, i les operacions de combinació són l'adició i la multiplicació. Qualsevol parell de sancers poden ser sumados o multiplicats, lo que resulta sempre en un atre sancer, i la primera operació, l'adició, és conmutativa, p. eix. per a qualsevol element a i b de l'anell, a + b = b + a. La segona operació, la multiplicació, també és conmutativa, pero això no necessita ser cert per a atres anells, lo que significa que a combinada en b pot ser diferent de b combinada en a. Eixemples d'anells no conmutativos serien les matrius i els cuaterniones. Els sancers no formen un anell de divisió, perque la segona operació no sempre pot ser invertida: no existix un sancer a tal que 3 × a = 1.

Els sancers tenen propietats adicionals que no es generalisen a tots els anells conmutativos. Un eixemple important és el teorema fonamental de l'aritmètica, que diu que cada sancer positiu pot ser factorizado únicament en número primo. Les factorización úniques no sempre existixen en atres anells, pero Noether va trobar una única teorema de factorización, conegut actualment com el teorema de Lasker-Noether theorem, para ideals de molts anells. Gran part del treball de Noether se centra en determinar qué propietats corresponen a tots els anells, en dissenyar nous anàlecs de les velles teoremes sobre els sancers i en determinar el mínim conjunt de premisses necessàries per a obtindre certes propietats dels anells.

Primera época (1908-19)

Teoria de la invariante algebraica

Gran part del treball de Noether en la primera época de la seua carrera estava associat en la teoria dels invariantes, principalment la teoria de les invariantes algebraiques. La teoria dels invariantes tracta de les expressions que permaneixen constants (invariantes) baix grups de transformacions. Com a eixemple quotidià, si una vara de medir rígida se somet a rotació, les coordenades (x, i, z) dels seus extrems canvien, pero la seua llongitut L donada per la fòrmula L² = Δx² + Δi² + Δz² permaneix constant. La teoria de invariantes va ser un àrea d'investigació activa a finals de el XIX, promoguda en part pel programa de Erlangen de Felix Klein, d'acort en el qual els distints tipos de geometria deurien ser caracterisades per les seues invariantes baix transformacions, per eixemple, la raó anarmónica de la geometria proyectiva. L'eixemple arquetípico d'una invariante és el discriminante B² − 4AC d'una forma binaria quadràtica de Ax² + Bxy + Cy². A esta se li crida invariante perque no canvia per substitucions llineals x → ax + by, i → cx + dy en determinant ad − bc = 1. Estes substitucions formen el grup llineal especial SL₂. (No hi ha invariantes baix el grup llineal general de totes les transformacions llineals invertibles perque estes transformacions poden ser multiplicació per un factor escalar. Per a remediar-ho, la teoria clàssica dels invariantes també considera invariantes relatives, que eren formes d'invariancia llevat un factor escalar). Pot preguntar-se per tots els polinomis en A, B, and C que no canvien per l'acció de SL₂; a estos se'ls crida invariantes de les formes quadràtiques, i resulten ser els polinomis del discriminante. De modo més general, es pot preguntar pels invariantes dels polinomis homogéneus A₀x^ri⁰ + ... + A_rx⁰i^r de grau superior, que seran certs polinomis en els coeficients A₀, ... , A_r, i de forma encara més general, es poden plantejar qüestions similars sobre les polinomis homogéneus en més de dos variables.

Una de les principals metes de la teoria dels invariantes és resoldre el «problema de base finita». La suma o producte de dos invariantes qualssevol és un invariante, i el problema de la base finita plantejava si era possible obtindre tots els invariantes començant per una llista finita de invariantes, cridats generadors, i despuix afegir o multiplicar els generadors entre sí. Per eixemple, el discriminante oferix una base finita (en un element) per als invariantes de les formes binarias quadràtiques. El director de tesis de Noether, Paul Albert Gordan, va ser conegut com el «rei de la teoria dels invariantes», i la seua principal contribució a les matemàtiques va ser la seua solució en 1870 del problema de la base finita per a invariantes de polinomis homogéneus en dos variables.  Va provar l'existència d'una base finita per mig d'un método constructiu per a trobar tots els invariantes i els seus generadors, pero no va ser capaç de desenrollar este enfocament constructiu per a invariantes de polinomis en tres o més variables. En 1890 David Hilbert va provar un plantejament similar per als invariantes de polinomis homogéneus en qualsevol número de variables.  És més, este método funcionava no solament per al grup especial llineal, sino també per a algun dels seus subgrups com el grup especial ortogonal. La seua primera prova va produir certa controvèrsia perque no proporcionava un método per a construir els generadors, encara que en treballs posteriors va fer que el seu método fora constructiu. Per a la seua tesis Noether va ampliar la prova computacional de Gordan a polinomis homogéneus en tres variables. L'aproximació constructiva de Noether va fer possible estudiar les relacions entre els invariantes. Posteriorment, despuix de tornar-se cap a métodos més abstractes, va dir de la seua tesis que era Mist (bazofia) i Formelngestrüpp (un revoltijo d'equacions).

Teoria de Galois

La teoria de Galois tracta de les transformacions de cossos numèrics que permuten les raïls d'una equació. Considere's una equació polinòmica d'una variable x de grau n, en el que els coeficients pertanyen a algun «cos base», que podria ser, per eixemple, el cos dels número real, el dels número racional o el dels sancers mòdul  7. Poden existir o no valors de x que anulen este polinomi. Estos valors, si existixen, es diuen raïls. Si el polinomi és x² + 1 i el cos és el dels número real, llavors el polinomi no té raïls, perque qualsevol valor de x fa que el polinomi siga major o igual que un. No obstant, si el cos es estén, llavors el polinomi pot tindre raïls, i si se li estén lo suficient, tindrà un número de raïls igual al seu grau. Continuant en l'eixemple previ, si el cos s'estén als número complejo, llavors el polinomi té dos raïls, i i −i, a oni és l'unitat imaginària, açò és, i ² = −1. De modo més general, l'extensió del cos en el que un polinomi pot factorizarse en les seues raïls es coneix com cos de descomposició del polinomi.

El grup de Galois d'un polinomi és el conjunt de totes les maneres de transformar el cos de descomposició sense canviar ni el cos base ni les raïls del polinomi (en la gerga matemàtica, eixes transformacions es denominen automorfismes). El grup de Galois de x² + 1 consta de dos elements: La transformació identitat, que envia cada número complejo a sí mateixa, i la conjugació, que fa correspondre i a −i. Ya que el grup de Galois no canvia el cos base, deixa els coeficients del polinomi inalterados, de modo que deu també deixar inalterado el conjunt de totes les raïls. No obstant, cada raïl pot transformar-se en una atra raïl, de modo que la transformació determina una permutació de n raïls entre sí mateixes. L'importància del grup de Galois ve del teorema fonamental de la teoria de Galois, que prova que els cossos que estan entre el cos base i el cos de descomposició estan en correspondència biunívoca en els subgrups del grup de Galois.

En 1918, Noether va publicar un artícul de gran importància sobre el problema invers de Galois. En lloc de determinar el grup de Galois de transformacions d'un cos donat i la seua extensió, Noether es va preguntar si, donat un cos i un grup, sempre és possible trobar una extensió del cos que tinga al grup donat com el seu grup de Galois. Va reduir açò al cridat problema de Noether, que pregunta si el cos fix d'un subrupo G del grup de #permutació S_n actuant sobre el cos k(x₁, ... , x_n) és sempre una extensió transcendent pura del cos k. (Va mencionar açò per primera volta en un artícul de 1913, a on atribuïa el problema al seu colega Fischer.) Va mostrar que açò era cert per a n = 2, 3, o 4. En 1969, R. G. Swan va trobar un contraeixemple per al problema de Noether sent n = 47 i G un grup cíclico d'orde 47  (encara que este grup pot realisar-se com un grup de Galois sobre els número racional per atres métodos). El problema invers de Galois continua sense resoldre's.

Física

Artícul principal → Teorema de Noether.

Artícul principal → Llei de conservació.

Artícul principal → Integral de moviment.

Noether va ser invitada a Gotinga en 1915 per David Hilbert i Felix Klein, els qui necessitaven de la seua experiència en la teoria de invariantes per a ajudar-los a comprendre la relativitat general, una teoria geomètrica de la gravitació desenrollada principalment per Albert Einstein. Hilbert havia observat que la conservació de l'energia semblava ser violada en la relativitat general, pel fet de que l'energia gravitacional podia a la seua volta eixercir atracció gravitacional. Noether va desmontar esta paradoxa i va crear una ferramenta fonamental per a la física teòrica en el seu primer teorema de Noether, que va demostrar en 1915, pero que no va publicar fins a 1918. Va resoldre el problema no solament per a la relativitat general, sino que va determinar les cantitats conservades per a qualsevol sistema de lleis físiques que posseïxca algun tipo de simetria contínua. Despuix de rebre el seu treball, Einstein va escriure a Hilbert estes paraules:

Ahir vaig rebre de la senyoreta Noether un artícul molt interessant sobre els invariantes. M'ha impressionat que este tipo de coses puguen ser compreses d'un modo tan general. ¡La vella guàrdia de Gotinga deuria prendre algunes lliçons de la senyoreta Noether! Sembla que sap lo que fa.

Hilbert (1981).

Per a ilustrar l'importància d'esta teorema, si un sistema físic es comporta en independència de la seua orientació en l'espai, es diu que les lleis físiques que ho governen tenen simetria de rotació. A partir d'esta simetria, la teorema de Noether mostra que el moment angular del sistema es deu conservar. El propi sistema físic no necessita ser simètric. Un asteroide de superfície irregular que gira caóticamente en l'espai conserva el seu moment angular a pesar de la seua falta de simetria. És la simetria de les lleis físiques que governen el sistema la que és responsable de la llei de la conservació. Atres eixemples: si un experiment físic dona el mateix resultat en qualsevol lloc i en qualsevol moment, llavors les seues lleis són simètriques baix translacions (contínues) en l'espai i el temps. En virtut de la teorema de Noether, estes #simetria expliquen les lleis de conservació del moment llineal i l'energia d'este sistema, respectivament.

La teorema de Noether s'ha convertit en una ferramenta fonamental en la moderna física teòrica, tant per la perspectiva que dona sobre les lleis de conservació com per ser una ferramenta pràctica de càlcul. La teorema permet als investigadors determinar les cantitats conservades a partir de les #simetria observades en un sistema físic. Recíprocament, facilita la descripció d'un sistema físic basant-se en lleis físiques hipotètiques. Per a ilustrar este punt, suponga's que es descobrix un nou fenomen físic. Llavors els models teòrics que es proponguen per al fenomen deuen satisfer la teorema de Noether: si la teoria té una simetria contínua, llavors la teorema de Noether garantisa que la teoria té una cantitat conservada, i per a que la teoria siga correcta, esta conservació deu ser observable en experiments.

Segona época (1920-26)

Encara que els resultats de la primera época de Noether varen ser impressionants i útils, la seua fama com a matemàtica descansa més en el treball fonamental que va efectuar en la seua segona i tercera époques, com advertixen Hermann Weyl i B. L. van der Waerden en l'obituario d'Emmy.

En estes époques no estava aplicant merament les idees i métodos dels primers matemàtics. En lloc d'això estava elaborant nous sistemes de definicions matemàtiques que serien usats per futurs matemàtics. En particular, va desenrollar una teoria completament nova dels ideals en els anells, que generalisava els primers treballs de Richard Dedekind. També és coneguda per descobrir les condicions de la cadena ascendent, una condició simple de finitud que en les seues mans va donar poderosos resultats. Estes condicions i la teoria dels ideals varen permetre a Noether generalisar molts resultats antics i tractar vells problemes des de noves perspectives, com la teoria de l'eliminació i les varietats algebraiques, que havia estudiat el seu pare.

Condicions ascendents i descendents de cadena

En esta época, Noether es va fer famosa per la seua destrea en l'us de les condicions ascendents (Teilerkettensatz) o descendents (Vielfachenkettensatz) de cadena. Es diu que una successió de subconjunts no buits A₁, A₂, A₃, etc. d'un conjunt S és estrictament ascendent si cada u és un subconjunt del següent

$A_1\subset A_2\subset A_3\subset \cdots$

La condició de cadena ascendent requerix que estes successions es descomponguen despuix d'un número finito de passos. En atres paraules, totes estes successions deuen ser finitas. A l'inversa, en una successió de subconjunts estrictament descendent:

$A_1\supset A_2\supset A_3\supset \cdots$

la condició de la cadena descendent requerix que tals successions es descomponguen despuix d'un número finito.

Les condicions ascendents i descendents de cadena són generals, és dir, es poden aplicar a molts tipos distints d'objectes matemàtics, i a primera vista no semblen molt potents. No obstant Noether va mostrar cóm explotar eixes condicions per a obtindre les màximes ventages: per eixemple, utilisant-les per a mostrar que tot conjunt de sub-objectes té un element maximal o minimal, o que un objecte complex pot generar-se a partir d'un número menor d'elements. Estes conclusions a sovint són passos crucials en una demostració.

Molts tipos d'objectes en un àlgebra abstracta poden satisfer les condicions de cadena, i habitualment si satisfan una condició ascendent de cadena es diuen noetherianos en el seu honor. Per definició, un anell noetheriano satisfà una condició ascendent de cadena en els seus ideals esquerre i dret, mentres que un grup noetheriano es definix com un grup en el que tota cadena estrictament ascendent de subgrups és finita. Un mòdul noetheriano és un mòdul en el que tota cadena estrictament ascendent de submòduls es descompon despuix d'un número finito. Un espai noetheriano és un espai topològic en el que tota cadena estrictament ascendent de subespacios oberts es descompon despuix d'un número finito de térmens. Esta definició s'establix de tal manera que l'espectre d'un anell noetheriano és un espai topològic noetheriano.

La condició de la cadena freqüentment és «heretada» pels subobjetos. Per eixemple, tots els subespacios d'un espai noetheriano són a la seua volta noetherianos. Tots els subgrups i grups cocient d'un grup noetheriano són de la mateixa manera noetherianos, i mutatis mutandis, lo mateixa es predica dels submòduls i cocients de mòduls d'un mòdul noetheriano. Tots els anells cocient d'un anell noetheriano són noetherianos, pero això no és necessàriament vàlit per als seus subanillos. La condició de cadena també pot heretar-se per combinacions o extensions d'un objecte noetheriano. Per eixemple, les sumes finitas directes anells noetherianos són noetherianas, aixina com l'anell de series de potències formals sobre un anell noetheriano.

Una atra aplicació d'estes condicions de cadena és l'inducció noetheriana —també coneguda com orde ben fonamentat— que és una generalisació de l'inducció matemàtica. Freqüentment s'usa per a reduir proposicions generals sobre coleccions d'objectes a proposicions sobre objectes en particular d'eixa colecció. Suponga's que S és un conjunt parcialment ordenat. Una forma de provar una afirmació sobre els objectes de S és supondre l'existència d'un contraeixemple i deduir una contradicció, provant d'eixe modo la contraposta de l'afirmació original. La premissa bàsica de l'inducció noetheriana és que tot subconjunt no buit de S conté un element minimal. En particular, el conjunt de tots els contraeixemples conté un element minimal, el contraeixemple minimal. Per a provar l'afirmació original, per tant, és suficient provar alguna cosa aparentment molt més dèbil: per cada contraeixemple existix un contraeixemple menor.

Anells conmutativos, ideals i mòduls

L'artícul de Noether, Idealtheorie in Ringbereichen (Teoria d'ideals en dominis d'integritat, 1921), és el fonament de la teoria general d'anells conmutativos i dona una de les primeres definicions generals d'un anell conmutativo. Abans del seu artícul, molts dels resultats en l'àlgebra conmutativa es restringien a eixemples especials d'anells conmutativos, com els anells polinòmics sobre cossos o anells de sancers algebraics. Noether va provar que en un anell que satisfà la condició de cadena ascendent sobre un ideal, tots els ideals es generen de forma finita. En 1943 el matemàtic francés Claude Chevalley va falcar el terme, anell noetheriano, per a descriure esta propietat. Una de les conseqüències principals de l'artícul de Noether de 1921 és el teorema de Lasker-Noether, que amplia la teorema de Lasker sobre la descomposició primària d'ideals en anells polinòmics a tots els anells noetherianos. La teorema de Lasker-Noether es pot contemplar com una generalisació del teorema fonamental de l'aritmètica que afirma que qualsevol sancer positiu es pot expressar com un producte de número primo i que dita descomposició és única.

El treball de Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Estructura abstracta de la teoria d'ideals en cossos de número algebraico i de funcions, 1927)  va caracterisar els anells en els que els ideals tenen una factorización única en ideals cosins com els dominis de Dedekind: els dominis integrals que són noetherianos, 0 o 1-dimensionals, i tancats integralmente en els seus cossos cocients. Este artícul també conté lo que actualment es coneix com els teoremes d'isomorfisme, que descriuen alguns isomorfismes naturals i atres resultats bàsics sobre els mòduls noetherianos i artinianos.

Teoria de l'eliminació

En 1923-24, Noether va aplicar la seua teoria d'ideals a la teoria de l'eliminació—en una formulació que s'atribuïx al seu alumne, Kurt Hentzelt — mostrant que les teoremes fonamentals de la factorización de polinomis podien traslladar-se directament. Tradicionalment, la teoria de l'eliminació s'ocupa de l'eliminació d'una o més variables d'un sistema d'equacions polinòmiques, habitualment per mig del método de les resultants. Per a ilustrar este punt, un sistema d'equacions freqüentment pot escriure's com el producte d'una matriu M (els elements de la qual són els coeficients) per un vector v (les components de la qual són les potències successives de x) que s'iguala al vector zero, M•v = 0. Com a conseqüència, el determinant de la matriu M deu ser igual a zero, lo que dona lloc a una nova equació en la que la variable x ha segut eliminada.

Teoria dels invariantes de grups finitos

Tècniques com la solució no constructiva original de Hilbert al problema de la base finita no podien aplicar-se per a obtindre informació quantitativa sobre els invariantes d'una acció de grup, i ni tan sols podien aplicar-se a totes les accions de grup. En el seu artícul de 1915, Noether va resoldre el problema de base finita per a un grup finito de transformacions G que actua sobre un espai vectorial finito-dimensional sobre un cos de característica zero. La seua solució mostra que l'anell de les invariantes es genera per invariantes homogéneus el grau dels quals és menor o igual a l'orde del grup finito. A açò se li crida cota de Noether. El seu artícul donava dos demostracions de la cota de Noether, que permaneixen vàlides quan la característica del cos és coprima en |G|!, el factorial d'orde |G| del grup G. El número de generadors necessaris no satisfà necessàriament la cota de Noether quan la característica del cos dividix a |G|, pero Noether no va ser capaç de determinar si la cota era correcta quan la característica del cos dividix a |G|! pero no a |G|. Durant molts anys, determinar la veritat o falsetat de la cota en este cas va ser un problema obert conegut com el «estany de Noether». Finalment es va resoldre de forma independent per Fleischmann en 2000 i Fogarty en 2001, demostrant abdós que la cota seguix sent vàlida.

En el seu artícul de 1926, Noether va estendre la teorema de Hilbert a representacions d'un grup finito sobre un cos qualsevol. El nou cas que no se seguia de l'obra de Hilbert era quan la característica del cos dividix a l'orde del grup. El resultat de Noether va ser ampliat posteriorment per William Haboush a tots els grups reductivos per mig de la seua demostració de la conjectura de Mumford. En este artícul Noether també introduïx el lema de la normalisació de Noether, que mostra que un domini A generat finitamente sobre un cos K té un conjunt x₁, ... , x_n d'elements algebraicamente independents tals que A és la clausura integral sobre K[x₁, ... , x_n].

Contribucions a la topología

Com varen dir Pavel Alexandrov i Hermann Weyl en els seus obituarios a Emmy, les contribucions de Noether a la topología ilustren la seua generositat en les idees i cóm les seues intuïcions podien transformar camps complets de la matemàtica. En topología els matemàtics estudien les propietats dels objectes que permaneixen invariantes inclús baix deformació contínua, propietats com la seua conexidad. Hi ha un conegut succeït que diu que un topólogo és algú que no distinguix un dònut d'una tassa de café, perque poden transformar-se de manera contínua (que en este eixemple significa sense tancar ni obrir nous forats) l'un en l'atre.

A Noether se li atribuïxen les idees fonamentals que varen conduir al desenroll de la topología algebraica a partir de la primitiva topología combinatòria, en concret l'idea de grups d'homologia. D'acort en lo que diu Alexandrov, Noether assistia a classes impartides per Heinz Hopf i ell mateixa en els estius de 1926 i 1927, a on «estava contínuament fent observacions, que freqüentment eren profundes i sotils», i continua dient que:

Quan... en principi va quedar satisfeta en una construcció sistemàtica de la topología combinatòria, va observar immediatament que mereixeria la pena estudiar directament el grup de complexos algebraics i cicles d'un poliedre donat i el subgrup del grup cíclico que consta de cicles homòlecs a zero. En lloc de la definició habitual dels números de Betti, va sugerir immediatament definir el grup de Betti com el cocient del grup de tots els cicles pel subgrup de cicles homòlecs a zero. Esta observació ara sembla òbvia. Pero en aquells anys (1925-1928) va ser un punt de vista completament nou.

La sugerència de Noether de que la topología devia estudiar-se algebraicamente va ser adoptada immediatament per Hopf, Alexandrov, i uns atres, i es va convertir en un tema de discussió freqüent entre els matemàtics de Gotinga. Noether va observar que la seua idea de grup de Betti fa que la fòrmula Euler-Poincaré siga fàcil de comprendre, i el propi treball de Hopf sobre esta matèria «du l'impronta d'estes observacions d'Emmy Noether».  Noether menciona les seues pròpies idees sobre la topología solament marginalment en una publicació de 1926, a on les cita com una aplicació de la teoria de grups.

L'aproximació algebraica a la topología es va desenrollar independentment en Àustria. En un curs impartit en 1926-27 en Viena, Leopold Vietoris definix «grup d'homologia». Walther Mayer va donar una definició axiomàtica del mateix en 1928.

Tercera época (1927-35)

Números hipercomplejos i teoria de la representació

S'havien portat a terme molts treballs sobre els números hipercomplejos i representacions de grup a principis de el XX, pero seguien sent dispars. Noether va unificar els resultats i va donar la primera representació general de la teoria de grups i #àlgebra. En resum, Noether subsumió la teoria estructural del àlgebra associativa i de la representació de grups en una única teoria aritmètica de mòduls i ideals que satisfan les condicions ascendents de cadena. Este únic treball de Noether és de fonamental importància per al desenroll de l'àlgebra moderna.

Àlgebra no conmutativa

Noether també va ser responsable d'atres alvanços en el camp de l'àlgebra. En Emil Artin, Richard Brauer, i Helmut Hasse, va fundar la teoria de les #àlgebra centrals simples.

Un artícul molt influent publicat per Noether, Helmut Hasse, i Richard Brauer va tractar de les #àlgebra de divisió, que són aquells sistemes algebraics en els que és possible la divisió. Varen provar dos teoremes importants; un teorema local-global que afirma que si un àlgebra de divisió finita dimensional central sobre un cos numèric algebraic es descompon localment en qualsevol element, llavors es descompon també globalment (en lo que és trivial), i d'açò varen deduir la seua teorema principal (Hauptsatz): tot àlgebra de divisió central finito-dimensional sobre un cos numèric algebraic F es descompon sobre una extensió cíclica ciclotòmica. Estes teoremes permeten classificar totes les #àlgebra de divisió finito dimensionals i centrals sobre un cos numèric dau. Un artícul posterior va mostrar, com un cas especial d'una teorema més general, que tots els subcuerpos maximales d'un àlgebra de divisió D són cossos de descomposició. Este artícul també conté el teorema de Skolem-Noether que afirma que dos inclusions d'una extensió d'un cos K en un àlgebra simple central finito-dimensional sobre K, són conjugats. La teorema de Brauer-Noether oferix una caracterisació dels cossos de descomposició d'un àlgebra de divisió central sobre un cos.

Valoració, reconeiximent i homenages

El treball de Noether continua sent rellevant per al desenroll de la física teòrica i les matemàtiques i mai li l'ha deixat de considerar com un dels més grans matemàtics de el XX. En el seu obituario, el algebrista Bartel Leendert van der Waerden va dir que la seua originalitat matemàtica estava «absolutament més allà de qualsevol comparació», i Herman Weyl que Noether «va canviar la faç del àlgebra abstracta» en els seus treballs. Ya durant la seua vida i fins a hui, s'ha mantingut que ha segut la més gran matemàtica de l'història   per, per eixemple, els matemàtics Pavel Alexandrov, Hermann Weyl  i Jean Dieudonné. En una carta al The New York Claves, Albert Einstein va escriure:

Si s'haguera de jujar la llabor dels matemàtics vius més competents, la senyoreta Noether ha segut de llunt el geni matemàtic més significatiu produït des de que va començar l'educació superior de les dònes. En el regne de l'àlgebra, en el qual els més dotats matemàtics han estat ocupats durant sigles, va descobrir métodos que s'han mostrat d'enorme importància per a l'actual generació de jóvens matemàtics.

El 2 de giner de 1935, uns pocs mesos despuix del seu decés, el matemàtic Norbert Wiener va escriure que:

La senyoreta Noether és... la més gran matemàtica que jamai haja existit; i la més gran científica contemporànea de qualsevol especialitat, i una autoritat com a poc al mateix nivell que Madame Curie.

En l'Exposició Universal de 1964, baix el lema «Matemàtiques: més allà del món dels números», Noether va ser l'única dòna entre els matemàtics notables del món modern.

Noether ha segut honrada en varis homenages:

• l'Association for Women in Mathematics celebra cada any els seus Conferències Noether per a honrar a les dònes matemàtiques. En el fullet editat per a l'event en 2005, l'associació caracterisa a Nother com «un dels matemàtics més importants del seu temps, algú que va treballar i va sofrir per allò en lo que creïa i amava. La seua vida i obra seran per a nosatres una gran inspiració».
• En consistència en la seua dedicació als seus alumnes, l'Universitat de Siegen ha reunit les seues facultats de matemàtiques i física en el cridat «Campus Emmy Noether».
• La Societat Alemana per a l'Investigació Científica (Deutsche Forschungsgemeinschaft) porta a terme el Emmy Noether Programm, una beca posdoctoral per a recolzar l'investigació i la docència de jóvens prometedors.
• Un carrer de la seua ciutat natal, Erlangen, du el nom Emmy Noether i Max Noether (el seu pare).
• L'escola secundària successora d'aquella a la que va assistir en Erlangen ha segut rebatejada com the Emmy Noether School.
• El cràter Nöther en la cara amagada de la Lluna va ser nomenat aixina en el seu honor.
• L'asteroide (7001) Noether també deu el seu nom a Emmy Noether. 

Llista de doctorats

Data	Nom de l'estudiant	Títul de la tesis i traducció	Universitat	Publicació
1911-12-16	Falckenberg, Hans	Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen Ramificacions de les solucions de les equacions diferencials no llineals.§	Erlangen	Leipzig 1912
1916-3-4	Seidelmann, Fritz	Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich Els conjunts d'equacions cúbiques i biquadràtiques en lo que afecten a un domini racional arbitrari§	Erlangen	Erlangen 1916
1925-02-25	Hermann, Grete	Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt La qüestió sobre el número finito de passos en la teoria d'ideals de polinomis per mig de l'us de les teoremes de l'últim Kurt Hentzelt§	Gotinga	Berlín 1926
1926-07-14	Grell, Heinrich	Beziehungen zwischen donen Idealen verschiedener Ringe Relacions entre ideals de varis anells.§	Gotinga	Berlín 1927
1927	Doräte, Wilhelm	Über einem verallgemeinerten Gruppenbegriff Sobre una generalisació del concepte de grup.§	Gotinga	Berlín 1927
Va fallir previ a la defensa	Hölzer, Rudolf	Zur Theorie der primären Ringe Sobre la teoria dels anells primaris§	Gotinga	Berlín 1927
1929-06-12	Weber, Werner	Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen Significat ideal-teòrica de la representabilidad de número natural arbitraris per mig de formes quadràtiques§	Gotinga	Berlín 1930
1929-06-26	Levitski, Jakob	Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe Sobre anells i subanillos completament reducibles§	Gotinga	Berlín 1931
1930-06-18	Deuring, Max	Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen Sobre la teoria aritmètica de les funcions algebraiques§	Gotinga	Berlín 1932
1931-07-29	Fitting, Hans	Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen Sobre la teoria d'anells automórficos de grups abelianos i els seus anàlecs en els grups no conmutativos§	Gotinga	Berlín 1933
1933-07-27	Witt, Ernst	Riemann-Rochscher Satz und Zeta-Funktion im Hyperkomplexen La teorema de Riemann-Roch i la funció Zeta en els números hipercomplejos§	Gotinga	Berlín 1934
1933-12-06	Tsen, Chiungtze	Algebren über Funktionenkörper #Àlgebra sobre cossos de funcions §	Gotinga	Gotinga 1934
1934	Schilling, Otto	Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper Sobre certes relacions entre l'aritmètica dels sistemes de números hipercomplejos i els cossos de número algebraico.§	Marburgo	Braunschweig 1935
1935	Stauffer, Ruth	The construction of a normal basis in a separable extension field La construcció d'una base normal en un cos d'extensió separable§	Bryn Mawr	Baltimore 1936
1935	Vorbeck, Werner	Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme Cossos de descomposició no de Galois en sistemes simples§	Gotinga
1936	Wichmann, Wolfgang	Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen Algebren Aplicacions de la teoria p-ádica en #àlgebra no conmutativas§	Gotinga	Monatshefte für Mathematik und Physik (1936) 44, 203-224.

Bibliografia

Bibliografia en espanyol

• Blanco Laserna, David (2005). Emmy Noether: matemàtica ideal, Madrit: Nivola. ISBN 978-84-95599-93-3.

Obres seleccionades sobre Emmy Noether (en alemà)

• .
• .
• .
• . English translation by M. A. Tavel (1918), Plantilla:Arxiv.

• ^{[enllaç trencat]}.
• .
• .
• .
• .
• .
• ^{[enllaç trencat]}.
• .
• .

• .
• .
• .

Atres fonts

• .
• .
• Nina Byers (1998) "I. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws." in Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, held on 2-4 December, 1996, at the Bar-Ilan University, Israel.
• .
• . Trans. H. I. Blocher.
• .
• .
• .

• . (German)
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .

• .
• . Reprinted in Dick 1981. (German)
• .
• , reprinted as an appendix to Dick (1981).
• .

Atres referències

• Brewer, James W. (1981). Emmy Noether: A Tribute to her Life and Work, New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-1550-0. [4]
• Dick, Auguste (1981). Emmy Noether, 1882-1935, Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3019-8. [5] [6]
• New York Claves.
• Kimberling, Clark, "Emmy Noether," American Mathematical Monthly 79 (1972) 136-149. Addendum, 79 (1972) 755.
• Noether, Gottfried I. (1987), "Emmy Noether (1882-1935)" in Louise S. Grinstein and Paul J. Campbell, ed., Women of mathematics: A Biobibliographic Sourcebook, with a foreword by Alice Schafer, Greenwood Press, pp. 165-170
• Reid, Constance (1996). Hilbert, New York: Springer Science and Business Mija. ISBN 0-387-94674-8.

Enllaços externs

• Ficha en Mathematics Genealogy Project En anglés.
• Plantilla:Obra citada/núcleo.
• Emmy Noether, Mandie Taylor, in: Biographies of Women Mathematicians, Agnes Scott College. En anglés.
• Biografia conjunta en Sophia Kovalevsky: Kovalevsky i Noether En anglés.
• Pàgina de la UCLA sobre Emmy Noether En anglés.
• Emmy Noether (1882-1935) - Lebensläufe Solicitut d'admissió a l'Universitat de Erlangen i tres currículums, dos dels quals apareixen en versió manuscrita, en transcripcions. El primer d'ells presenta la caligrafia d'Emmy Noether. En alemà.
• The Life and Claves of Emmy Noether Nina Byers, Physics Department, UCLA, Los Angeles, CA 90024, (November 11, 1994) En anglés.

• Dos versions del seu examen de doctorat, presentat en 1908 en Erlangen. La segona és la versió publicada. ^{[enllaç trencat] [enllaç trencat]} En alemà.
• Clark Kimberling, Emmy Noether, Mentors & Colleagues En anglés.