Teoria de cossos de classes

En matemàticas, la teoria de cossos de classes és una branca essencial de la teoria d'número algebraico que té per objecte la classificació de les extensions abelianas, o ya siga, les galoisianas i grups de Galois comutativos, d'un cos donat. Més precisament, tracta la manera de descriure i construir estes extensions en térmens de propietats aritmètiques del propi cos bàsic.

S'atribuïx a Hilbert el mèrit de ser un dels pioners de la noció de cos de classes. No obstant, esta noció ya era coneguda per Kronecker i, en realitat, va ser Weber qui va falcar el terme ans que es publicaren els artículs fonamentals de Hilbert. Les idees rellevants es varen desenrollar en el periodo de vàries décades, donant lloc a un conjunt de conjectura de Hilbert que varen anar posteriorment demostrades per Takagi i Artin (en l'ajuda de la teorema de Chebotarev).

Un dels principals resultats és: donat un cos numèric F, i escrivint K per a la màxima extensió abeliana no ramificada de F, el grup de Galois de K sobre F és canónicamente isomorfo al grup de classes d'ideals de F. Esta afirmació es va generalisar a la cridada llei de reciprocitat de Artin; en térmens de ideles, escrivint C_F per al grup de classe ideal de F, i prenent L com qualsevol extensió abeliana finita de F, esta llei dona un isomorfisme canònic

${\theta }_{L/F}:C_F/N_{L/F}(C_L)\to \mathrm{Gal}(L/F),$

a on $N_{L/F}$ denota l'aplicació norma de ideles de L a F. Este isomorfisme es denomina aplicació de reciprocitat.

La teorema d'existència afirma que l'aplicació de reciprocitat pot utilisar-se per a donar una biyección entre el conjunt d'extensions abelianas de F i el conjunt de subgrups tancats d'índex finito de $C_F.$.

Un método estàndar per a desenrollar la teoria global de cossos de classes des de la década de 1930 va ser construir la teoria local de cossos de classes, que descriu extensions abelianas de cossos locals, i després utilisar-la per a construir la teoria global de cossos de classes. Açò ho varen fer primer Emil Artin i John Tate utilisant la teoria de la cohomología de grups, i en particular desenrollant la noció de formacions de classes. Més vesprada, Neukirch va trobar una demostració dels principals enunciats de la teoria global de cossos de classes sense utilisar idees cohomológicas. El seu método era explícit i algorítmic.

Dins de la teoria de cossos de classes es pot distinguir la teoria especial de cossos de classes i la teoria general de cossos de classes.

La teoria explícita de cossos de classes proporciona una construcció explícita d'extensions abelianas maximales d'un cos numèric en diverses situacions. Esta part de la teoria consistix en el teorema de Kronecker-Weber, que pot usar-se per a construir les extensions abelianas de $\mathbb{Q}$, i la teoria de la multiplicació complexa per a construir extensions abelianas de cossos MC.

Existixen tres generalisacions principals de la teoria de cossos de classes: la teoria superior de cossos de classes, el programa de Langlands (o 'correspondències de Langlands') i la geometria anabeliana.

Descripció general

Tradicionalment comprenia l'estudi de les extensions abelianas, és dir, de les extensions de Galois que el seu grup de Galois és abeliano, per a este cas la teoria es va desenrollar durant 1850-1930. En el cas de les extensions no abelianas, els primers resultats importants varen escomençar a obtindre's fa 25 anys i formen part del programa de Langlands.

Gran part de l'investigació en el cas abeliano se centra en el famós Jugendtraum de Kronecker, és dir, el desig de trobar funcions capaces de generar l'extensió abeliana maximal per a cada cos numèric. (Si el cos és Q, les funcions generadores són les funcions ciclotòmiques $\exp (i\sigma )$.)

Siga K un cos numèric. El grup de Galois de l'extensió abeliana maximal és un grup topològic compacte abeliano de grau infinit sobre K. Kronecker va demostrar que, quan K és el cos dels número racional, este grup és un producte infinit del grup aditiu dels sancers p-ádicos pres sobretot número primo p, i d'un producte infinit de grups cíclicos finitos. La generalisació d'esta teorema va ser resultat d'un gran proyecte històric que va incloure a les formes quadràtiques i la seua teoria de gènero, les lleis de reciprocitat, la teoria d'ideals, extensions ciclotòmiques i de Kummer.

Iniciant en la tesis de Tate en els anys cinquanta, tots els resultats varen ser reescrits en térmens de la cohomología de grups. Despuix va haver un periodo de quiescencia que va anar bruscament interromput en els xixanta per les conjectura de Langlands.

Formulació en llenguage contemporàneu

En llenguage matemàtic modern, la teoria de cossos de classes (CFT) pot formular-se com seguix. Considerem l'extensió abeliana màxima A d'un cos local o global K. És de grau infinit sobre K; el grup de Galois G de A sobre K és un grup profinito infinit, per tant un «grup topològic compacte», i és abeliano. Els objectius centrals de la teoria de cossos de classes són: descriure G en térmens de certs objectes topològics apropiats associats a K, descriure extensions abelianas finitas de K en térmens de subgrups oberts d'índex finito en l'objecte topològic associat a K. En particular, es desija establir una correspondència unívoca entre les extensions abelianas finitas de K i els seus grups norma en este objecte topològic per a K. Este objecte topològic és el grup multiplicativo en el cas de cossos locals en cos de residus finito i el grup de classes de ideles en el cas de cossos globals. L'extensió abeliana finita corresponent a un subgrup obert d'índex finito es denomina cos de classes per a eixe subgrup, lo que va donar nom a la teoria.

El resultat fonamental de la teoria general dels cossos de classes afirma que el grup G és naturalment isomorfo a la complección profinita de C_K, el grup multiplicativo d'un cos local o el grup de classes de ideles del cos global, sobre la topología natural sobre C_K relacionada en l'estructura específica del cos K. Equivalentemente, per a qualsevol extensió finita de Galois L de K, existix un isomorfisme (l'aplicació de reciprocitat de Artin)

$\mathrm{Gal}(L/K{)}^{\mathrm{ab}}\to C_K/N_{L/K}(C_L)$

de l' abelianización del grup de Galois de l'extensió en el cocient del grup de classes de ideles de K per l'image de la norma del grup de classes de ideles de L.

Per a alguns cossos menuts, com el cos dels número racional $\mathbb{Q}$ o el seu extensió imaginària quadràticas existix una teoria més detallada molt explícita pero massa específica que proporciona més informació. Per eixemple, el grup de Galois absolut abelianizado G de $\mathbb{Q}$ és (naturalment isomorfo a) un producte infinit del grup d'unitats dels sancers p-ádicos presos sobre tots els número primos p, i l'extensió abeliana màxima corresponent dels racionals és el cos generat per totes les raïls de l'unitat. Açò es coneix com el teorema de Kronecker-Weber, originalment conjeturado per Leopold Kronecker. En este cas l'isomorfisme de reciprocitat de la teoria de cossos de classes (o aplicació de reciprocitat de Artin) també admet una descripció explícita pel teorema de Kronecker-Weber. No obstant, les construccions principals de tals teories més detallades per a cossos d'número algebraico menuts no són extensibles al cas general de cossos d'número algebraico, i en la teoria general de cossos de classes s'utilisen principis conceptuals diferents.

El método estàndar per a construir l'homomorfisme de reciprocitat és construir primer l'isomorfisme de reciprocitat local des del grup multiplicativo de la complección d'un cos global al grup de Galois de la seua màxima extensió abeliana (açò es fa dins de la teoria de cossos de classes locals) i després provar que el producte de tots eixos mapes de reciprocitat local quan es definix sobre el grup idele del cos global és trivial sobre l'image del grup multiplicativo del cos global. Esta última propietat es denomina llei de reciprocitat global i és una generalisació de gran alcanç de la llei de reciprocitat quadràtica de Gauss.

Un dels métodos per a construir l'homomorfisme de reciprocitat utilisa la formació de classes que deriva la teoria de cossos de classes a partir de axioma de la teoria de cossos de classes. Esta derivació és purament teòrica de grups topològics, mentres que per a establir els axioma cal utilisar l'estructura d'anells del cos base.

Hi ha métodos que usen grups de cohomología, en particular el grup de Brauer, i hi ha métodos que no usen grups de cohomología i són molt explícits i fructífers per a les aplicacions.

Història

Els orígens de la teoria de cossos de classes es troben en la llei de reciprocitat quadràtica demostrada per Gauss. La generalisació va tindre lloc com un proyecte històric a llarc determini, en el que varen intervindre les formes quadràtiques i la seua teoria del gènero, el treball d'Ernst Kummer i Leopold Kronecker/Kurt Hensel sobre ideals i complecciones, i la teoria ciclotòmica i d'extensions de Kummer.

Les dos primeres teories de cossos de classes varen ser teories de cossos de classes ciclotòmiques i de multiplicació complexa molt explícites. Utilisaven estructures adicionals: en el cas del cos dels número racional utilisen raïls de l'unitat, en el cas d'extensions quadràtiques imaginàries del cos dels número racional utilisen curves elíptiques en multiplicació complexa i els seus punts d'orde finito. Molt més vesprada, la teoria de Shimura va proporcionar una atra teoria de cossos de classes molt explícita per a una classe de cossos d'número algebraico. En característica positiva $p$, Yukiyosi Kawada i Ichiro Satake varen utilisar la dualitat de Witt per a obtindre una descripció molt senzilla de la part $p$ de l'homomorfisme de reciprocitat.

No obstant, estes teories tan explícites no podien estendre's a cossos numèrics més generals. La teoria general de cossos de classes utilisava conceptes i construccions diferents que funcionen sobre qualsevol cos global.

Els famosos problemes de David Hilbert varen estimular un major desenroll, que va conduir a la lleis de reciprocitat, i a les demostracions de Teiji Takagi, Phillip Furtwängler, Emil Artin, Helmut Hasse i molts uns atres. El teorema d'existència de Takagi, d'importància crucial, ya es coneixia en 1920, i tots els resultats principals al voltant de 1930. Una de les últimes conjectura clàssiques en demostrar-se va ser la propietat de principalización. Les primeres demostracions de la teoria de cossos de classes utilisaven métodos analítics substancials. En la década de 1930 i posteriorment es va fer un major us de les extensions infinites i de la teoria de Wolfgang Krull dels seus grups de Galois. Açò es va combinar en la dualitat de Pontryagin per a donar una formulació més clara encara que més abstracta del resultat central, la llei de reciprocitat de Artin. Un pas important va ser l'introducció dels idelos per Claude Chevalley en la década de 1930 per a substituir a les classes d'ideals, essencialment clarificant i simplificant la descripció de les extensions abelianas de cossos globals. La majoria dels resultats centrals es varen demostrar en 1940.

Més vesprada els resultats es varen reformular en térmens de cohomología de grups, que es va convertir en una forma estàndar de deprendre la teoria de cossos de classes per a vàries generacions de teòrics de números. Un inconvenient del método cohomológico és la seua relativa inexplicitud. Com a resultat de les contribucions locals de Bernard Dwork, John Tate, Michiel Hazewinkel i una reinterpretación local i global de Jürgen Neukirch i també en relació en el treball sobre fòrmules de reciprocitat explícites de molts matemàtics, en la década de 1990 es va establir una presentació molt explícita i lliure de cohomología de la teoria de cossos de classes. (Vore, per eixemple, Class Field Theory, de Neukirch).

Generalisacions de la teoria de cossos de classes

Existixen tres generalisacions principals, cada una d'elles de gran interés. Són: el programa de Langlands, la geometria anabeliana i la «teoria de cossos de classes superiors».

A sovint, la correspondència de Langlands es considera com una teoria no abeliana de cossos de classes. Si aplega a estar completament establida, contindria una certa teoria no abeliana d'extensions de Galois de cossos globals. No obstant, la correspondència de Langlands no inclou tanta informació aritmètica sobre extensions de Galois finitas com la teoria de cossos de classes en el cas abeliano. Tampoc inclou un anàlec de la teorema d'existència en la teoria de cossos de classes: el concepte de cossos de classes està absent en la correspondència de Langlands. Existixen atres teories no abelianas, locals i globals, que proporcionen alternatives al punt de vista de la correspondència de Langlands.

Una atra generalisació de la teoria de cossos de classes és la geometria anabeliana, que estudia algoritmes per a restaurar l'objecte original (per eixemple, un cos de números o una curva hiperbòlica sobre ell) a partir del coneiximent del seu grup de Galois absolut complet o grup fonamental algebraic.

Una atra generalisació natural és la teoria superior de cossos de classes, dividida en teoria superior de cossos de classes locals i teoria superior de cossos de classes globals. Descriu extensions abelianas de cossos locals superiors i cossos globals superiors. Estos últims són cossos de funcions d'esquemas de tipo finito sobre sancers i les seues localisacions i complecciones apropiades. Utilisa la teoria K algebraica, i els grups K de Milnor apropiats generalisen el $K_1$ utilisat en la teoria unidimensional de cossos de classes.

Referències

• (2003) Class Field Theory: from theory to practice, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44133-5.
• Jürgen Neukirch, Algebraic number theory

Bibliografia adicional

• (1990).«Class field theory».Addison-Wesley.Redwood City, Calif.:
• (1967).«Algebraic Number Theory».Academic Press.
• «History of class field theory.».
• (2002).«Local fields and their extensions».American Mathematical Society.Providence, RI:121
• (1986).«Local class field theory».The Clarendon Press Oxford University Press.
• (1955).«Class formations».Duke Math. J..22(2)

165–177.doi:10.1215/s0012-7094-55-02217-1.

• (1956).«Class formations. II».J.Fac. Sci.Univ. Tòquio Sect. 1A.7

353–389.

• (2020).«Class Field Theory».
• (1986).«Class Field Theory».Springer-Verlag.Berlin, New York:

Enllaços externs

• Teoria de cossos de classes [1] archivat en Wayback Machine.. Carlos Ivorra Castell - Universitat de Valéncia.
• ^{[enllaç trencat]}. Tesis de Llicenciatura de Lucio Guerberoff.