Grup profinito

En matemàtica, un grup pro-finito G és un grup que, en cert modo, està molt "pròxim" a ser finito.

Definició

Formalment, un grup pro-finito és llímit invers de grups finitos. En concret, $G$ és pro-finito si existix un conjunt dirigit $I$, una colecció de grups finitos $\{H_i{\}}_{i\in I}$, i homomorfismes ${\alpha }_{ij}:H_j\to H_i$ per a cada parell d'elements $i,j\in I$ en $i\le j$, que satisfan

• ${\alpha }_{ii}=1$ para tot $i\in I$
• ${\alpha }_{ij}\circ {\alpha }_{jk}={\alpha }_{ik}$ per a tots els $i,j,k\in I$ en $i\le j\le k$

en les propietats:

• $G$ és isomorfo com a grup al llímit proyectivo (llímit invers);

$\underleftarrow{\lim }{H}_i:=\{(h_i)\in \prod _{i\in I}{H}_i|{\alpha }_{ij}(h_j)=h_i,\mathrm{\forall }i\le j\}$, en la multiplicació component a component.

• L'isomorfisme de $G$ a $\lim H_i$ (considerat com subespacio topològic de $\prod H_i$) és un homeomorfisme d'espais topològics, en a on cada $H_i$ rep la topología discreta i $\prod H_i$ rep la topología producte.

És possible vore'ls per tant com grups topològics de manera natural: cada u dels grups finitos està dotat de la topología discreta, i com a G és un subconjunt del producte d'aquells espais discrets, hereta certa topología que ho convertix en un grup topològic.

Eixemples

Cada grup finito és trivialment pro-finito. Els eixemples més importants de grups pro-finitos són els sancers p-ádicos. La Teoria de Galois de les extensions de cossos de grau infinit fa sorgir de forma natural els grups de Galois que resulten ser pro-finitos. Els grups fonamentals que són tractats per la Geometria algebraica són també pro-finitos, degut a que, parlant ràpidament, l'àlgebra només pot 'vore' recobriment finitos d'una varietat algebraica.

Vore també

• Grup localment cíclico