Teoria de Galois

Évariste Galois (1811–1832)

retícul diagrama de Q adjacent a les raïls quadrades positives de 2 i 3, les seues subcampos, i grups de Galois.

En matemàticas, la teoria de Galois és una colecció de resultats que conecten la teoria de cossos en la teoria de grups. La teoria de Galois té aplicació a diversos problemes de la teoria de cossos que, gràcies a este desenroll, poden reduir-se a problemes més senzills de la teoria de grups. La teoria de Galois deu el seu nom al matemàtic francés Évariste Galois.

Galois va introduir el tema per a estudiar raïls de polinomis. Açò li va permetre caracterisar les equacions polinòmiques que són resolubles per radicals en térmens de propietats del grup de permutació de les seues raïls: una equació és resoluble per radicals si les seues raïls poden expressar-se per mig d'una fòrmula que incloga només sancers, raïls enèsimes i les quatre operacions aritmètiques bàsiques. Açò generalisa àmpliament el teorema d'Abel-Ruffini, que afirma que un polinomi general de grau a lo manco cinc no pot resoldre's per mig de radicals.

La teoria de Galois s'ha utilisat per a resoldre problemes clàssics, incloent la demostració de que dos problemes de l'antiguetat no poden resoldre's tal com varen ser plantejats (doblar la gaveta i trisecar l'àngul), i la caracterisació dels polígons regulars que són construibles (esta caracterisació va ser donada prèviament per Gauss, pero totes les proves conegudes de que esta caracterisació és completa requerixen la teoria de Galois).

El treball de Galois va ser publicat per Joseph Liouville catorze anys despuix de la seua mort. La teoria va tardar més temps en popularisar-se entre els matemàtics i en ser ben compresa.

La teoria de Galois s'ha generalisat a la conexió de Galois i a la teoria de Galois de Grothendieck.

Aplicacions de la teoria de Galois

El naiximent de la teoria de Galois va estar motivada per l'intent de respondre a la següent qüestió:

¿Per qué no existix una fòrmula per a la resolució d'equacions polinòmiques de quint grau (o superior) en térmens dels coeficients del polinomi, usant operacions algebraiques (suma, resta, multiplicació, divisió) i l'extracció de raïls (raïls quadrades, cúbiques, etc); tal com existix per a les equacions de segon, tercer i quart grau?

El teorema d'Abel-Ruffini, que és part de la teoria de Galois, dona una resposta a esta pregunta. La teoria de Galois proporciona no solament una elegant resposta a esta qüestió, sino que també explica en detalle per qué és possible resoldre equacions de grau inferior al quint, i per qué les solucions poden expressar-se per mig d'operacions algebraiques i extracció de raïls.

Ademés, la teoria de Galois proporciona respostes a problemes clàssics de la constructibilidad per mig de regla i compàs. De fet, la teoria de Galois establix quàn és possible construir una certa llongitut proporcional a una donada, i gràcies a això poden respondre's a les següents preguntes:

¿Qué polígons regulars són construibles per mig de regla i compàs?

¿Per qué no és possible la trisecció d'un àngul?^{cita requerida}

Història

Prehistòria

La teoria de Galois es va originar en l'estudi de funcions simètriques - els coeficients d'un polinomi mónico són (llevat el seu signe) els polinomis simètrics elementals en les raïls. Per eixemple, (x - a)(x - b) = x² - (a + b)x + ab, a on 1, a + b i ab són els polinomis simètrics elementals de grau 0, 1 i 2 en dos variables.

Açò va ser formalisat per primera volta pel matemàtic francés de el XVI François Viète, en fòrmules de Viète, per al cas de raïls reals positives. En opinió del matemàtic britànic de el XVIII Charles Hutton, l'expressió dels coeficients d'un polinomi en térmens de les raïls (no només per a raïls positives) va ser compresa per primera volta pel matemàtic francés de el XVII Albert Girard; Hutton escriu:

...[Girard va ser] la primera persona que va comprendre la doctrina general de la formació dels coeficients de les potències a partir de la suma de les raïls i els seus productes. Va ser el primer que va descobrir les regles per a sumar les potències de les raïls de qualsevol equació.

En esta llínea, el discriminante és una funció simètrica en les raïls que reflectix propietats de les raïls - és zero si i només si el polinomi té una raïl múltiple, i per a polinomis quadràtics i cúbics és positiu si i només si totes les raïls són reals i distintes, i negatiu si i només si hi ha un parell de raïls conjugades complexes distintes. Vore Discriminante:Naturalea de les raïls para més detalls.

La cúbica va ser resolta parcialment per primera volta pel matemàtic italià de el XV-XVI Scipione del Ferro, que no obstant no va publicar els seus resultats; este método, no obstant, només resolia un tipo d'equació cúbica. Esta solució va ser redescubierta independentment en 1535 per Niccolò Fontana Tartaglia, qui la va compartir en Gerolamo Cardano, demanant-li que no la publicara. Cardano ho va estendre despuix a atres numerosos casos, utilisant arguments similars; vore més detalls en Método de Cardano. Despuix del descobriment del treball de Ferro, va considerar que el método de Tartaglia ya no era secret, per lo que va publicar la seua solució en la seua Ars Magna de 1545 El seu alumne Lodovico Ferrari va resoldre el polinomi cuártico; la seua solució també es va incloure en Ars Magna. En este llibre, no obstant, Cardano no va proporcionar una "fòrmula general" per a la solució d'una equació cúbica, ya que no tenia ni número complejo a la seua disposició, ni la notació algebraica per a poder descriure una equació cúbica general. En la ventaja de la notació moderna i els número complejo, les fòrmules d'este llibre funcionen en el cas general, pero Cardano no ho sabia. Va ser Rafael Bombelli qui va conseguir entendre cóm treballar en número complejo per a resoldre totes les formes d'equació cúbica.

Un pas més va ser el treball de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique dones équations del matemàtic franc-italià Joseph Louis Lagrange, en el seu método de resolvents de Lagrange, en el que analisava la solució de cúbics i cuárticos de Cardano i Ferrari considerant-los en térmens de permutació de les raïls, que donaven lloc a un polinomi auxiliar de grau inferior, proporcionant una comprensió unificada de les solucions i assentant les bases per a la teoria de grups i la teoria de Galois. No obstant, no va tindre en conte la "composició" de les permutació. El método de Lagrange no s'estenia a les equacions quínticas o superiors, perque el resolvent tenia un grau més alt.

En 1799, Paolo Ruffini casi va demostrar que la quíntica no té solucions generals per radicals, i la seua idea clau va ser utilisar grups de permutació, no només una única permutació. La seua solució contenia un estany, que Cauchy va considerar menor, encara que esta no va ser parcheada fins al treball del matemàtic noruec Niels Henrik Abel, que va publicar una demostració en 1824, establint aixina el Teorema d'Abel-Ruffini.

Encara que Ruffini i Abel varen establir que la quíntica general no podia resoldre's, algunes quínticas particulars sí poden resoldre's, com x⁵ - 1 = 0, i el criteri precís pel que es podia determinar si un determinat quíntico o polinomi superior era resoluble o no va ser donat per Évariste Galois, qui va demostrar que si un polinomi era resoluble o no era equivalent a si el grup de permutació de les seues raïls -en térmens moderns, el seu grup de Galois- tenia o no una certa estructura -en térmens moderns, si era o no un grup resoluble-. Este grup sempre era resoluble per a polinomis de grau quatre o menys, pero no sempre ho era per a polinomis de grau cinc o més, lo que explica per qué no hi ha solució general en graus superiors.

Els escrits de Galois

En 1830 Galois (a l'edat de 18 anys) va presentar a l'Acadèmia de Ciències de París una memòria sobre la seua teoria de la resolubilidad per radicals; el treball de Galois va ser finalment rebujat en 1831 per ser massa esquemàtic i per donar una condició en térmens de les raïls de l'equació en lloc dels seus coeficients. Galois va morir llavors en un duel en 1832, i el seu treball, "Mémoire sur els conditions de résolubilité dones équations parell radicaux", va permanéixer inèdit fins a 1846, quan va ser publicat per Joseph Liouville acompanyat d'algunes de les seues pròpies explicacions. Abans d'esta publicació, Liouville va anunciar el resultat de Galois a l'Acadèmia en un discurs que va pronunciar el 4 de juliol de 1843. Segons Allan Clark, la caracterisació de Galois "reemplaça dramàticament el treball d'Abel i Ruffini."

Conseqüències

La teoria de Galois era notòriament difícil d'entendre per als seus contemporàneus, especialment fins al nivell en que podien ampliar-la. Per eixemple, en el seu comentari de 1846, Liouville no va entendre en absolut el núcleu teòric de grups del método de Galois. Joseph Alfred Serret, que va assistir a algunes de les charrades de Liouville, va incloure la teoria de Galois en el seu llibre de text Cours d'algèbre supérieure de 1866 (tercera edició). L'alumne de Serret, Camille Jordan, va tindre una comprensió encara millor reflectida en el seu llibre de 1870 Traité dones substitutions et dones équations algébriques. Fòra de França, la teoria de Galois va permanéixer més obscura durant més temps. En Gran Bretanya, Cayley no va comprendre la seua profunditat i els llibres de text d'àlgebra britànics més populars ni tan sols varen mencionar la teoria de Galois fins a molt despuix del canvi de sigle. En Alemània, els escrits de Kronecker es varen centrar més en el resultat d'Abel. Dedekind va escriure poc sobre la teoria de Galois, pero va donar una conferència sobre ella en Göttingen en 1858, mostrant un molt bon coneiximent. Els llibres d'Eugen Netto de la década de 1880, basats en el Traité de Jordan, varen fer accessible la teoria de Galois a un públic alemà i nortamericà més ampli, de la mateixa manera que el llibre de text d'àlgebra d'Heinrich Martin Weber de 1895.

L'enfocament de la teoria de Galois usant el grup de permutació

Si tenim un polinomi, pot succeir que algunes dels seus raïls estiguen relacionades per mig de vàries equacions algebraiques, que complixquen dites raïls. Per eixemple, pot succeir que per a dos de les raïls, digam A i B, l'equació A² + 5B³ = 7 siga certa. L'idea central de la teoria de Galois és el considerar aquelles permutació (o apanys) de les raïls que tinguen la propietat de que qualsevol equació algebraica satisfeta per elles siga satisfeta també despuix de la permutació o l'apany. És important senyalar que nos restringim a equacions algebraiques els coeficients de les quals són número racional (es poden especificar certs cossos per als coeficients, pero en els eixemples següents s'utilisen els número racional.)^{cita requerida}

El conjunt de tals permutació formaran un grup de permutació, també cridat grup de Galois del polinomi (sobre els número racional). Eixemples:

Primer eixemple: equació quadràtica

Siga l'equació quadràtica

$x^2-4x+1=0$

Per mig de l'us de la fòrmula per a l'equació quadràtica sabem que les seues dos raïls són

$A=2+\sqrt{3}$

$B=2-\sqrt{3}$

Algunes de les equacions algebraiques que satisfan A i B són

$A+B=4$

$AB=1$

En cada una d'estes equacions és clar que si intercanviem els papers de A i B obtenim equacions vàlides. Pero ademés açò és cert, encara que menys obvi, per a qualsevol equació algebraica que satisfan A i B. Per a provar-ho es requerix de la teoria dels polinomis simètrics.

Pot concloure's que el grup de Galois del polinomi $x^2-4x+1$ consistix en dos permutació: l'identitat que deixa A i B invariantes, i la transposició, que intercanvia A i B. Com grup, és isomorfo al grup cíclico d'orde dos, denotat Z/2Z.

Podria plantejar-se l'objecció de que existix esta atra equació satisfeta per a i B:

$A-B-2\sqrt{3}=0$

pero que no és certa quan s'intercanvien els papers. No obstant, cal observar que no importa, puix els seus coeficients no són racionals; $\sqrt{3}$ és irracional.

De forma pareguda, és possible parlar de qualsevol polinomi quadràtic $a{x}^2+bx+c$, a on a, b i c són número racional.

• Si el polinomi té solament una raïl, per eixemple $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, llavors el grup de Galois és trivial; açò és, conté solament a la permutació identitat.
• Si té dos distintes raïls racionals, per eixemple $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$, el grup és de nou trivial.
• Si té dos raïls irracionals (inclusivament el cas en el que abdós són número complejo), llavors el grup de Galois conté dos permutació, com en l'eixemple anterior.

Segon eixemple

Considere's el següent polinomi:

$x^4-10x^2+1$,

que pot escriure's també com:

$(x^2-5{)}^2-24$

Es desija descriure el grup de Galois d'este polinomi, novament sobre el cos dels número racional. El polinomi té quatre raïls:

$A=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$B=\sqrt{2}-\sqrt{3}$

$C=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$D=-\sqrt{2}-\sqrt{3}.$

Existixen 4! = 24 maneres de permutar estes quatre raïls, pero no totes estes permutació són membres del grup de Galois. Els membres del grup de Galois deu preservar qualsevol equació algebraica en coeficients racionals A, B, C i D. Una de dites equacions és, per eixemple:

$A+D=0$.

Ya que, ya que

$A+C=2\sqrt{3}\ne 0$,

la permutació

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

no està permesa, perque transforma l'equació vàlida A + D = 0 en l'equació inválida A + C = $2\surd 3$.

Una atra equació que les raïls satisfan és:

$(A+B{)}^2=8$.

Açò exclouria més permutació, com per eixemple:

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Continuant d'esta manera, és possible trobar que les úniques permutació que satisfan les dos equacions anteriors simultàneament són:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

i, per tant, el grup de Galois és isomorfo al grup de Klein.^{cita requerida}

Grups solubles i solució per radicals

Es diu que una raïl α es pot expressar en radicals si α és element d'un cos K tal que $F=K_0\subset K_1\subset \cdots \subset K_s=K$ a on $K_{i+1}=K_i(\sqrt[n_i]{a_i})\mathrm{\exists }{a}_i\in K_i,i=0,1,\dots ,s-i$. Una equació polinomial és soluble per radicals si totes les seues raïls es poden expressar en radicals. En la teoria de Galois, és possible derivar la següent teorema:

El polinomi f(x) (en el cos F) és resoluble per radicals sí i solament sí el seu grup de Galois és resoluble.

El problema invers de Galois

Artícul principal → Problema invers de Galois.

El problema invers de Galois planteja si tot grup finito pot ser el grup de Galois d'alguna extensió dels número racional. Este problema, propost inicialment en el sigle XIX per Hilbert, permaneix sense resoldre.

Vore també

• Teoria d'equacions

Bibliografia

• Baker, A. (2004): An Introduction to Galois Theory, University of Glasgow.