Grup finito

Grup finito

Les simetria del cope de neu formen un grup finito, el grup diedral D₆

En matemàtiques i àlgebra abstracta, un grup finito és un grup que el seu conjunt fonamental G té un número d'elements finito. Durant el XX, els matemàtics han investigat certs aspectes de la teoria de grups finitos en gran profunditat, especialment la teoria local de grups finitos, i la teoria de grups resolubles i grups nilpotents. Una completa determinació de l'estructura de tots els grups finitos és massa ambiciosa; el número de possibles estructures pronte es convertix en marejant. No obstant, la classificació completa de grups finitos simples s'ha pogut conseguir, lo que significa que els «blocs de construcció» en els quals tots els grups finitos poden ser construïts es coneix ara, ya que cada grup finito té una série de composició.

Durant la mitat de el XX, matemàtics tals com Claude Chevalley i Robert Steinberg també varen incrementar l'enteniment dels anàlecs finitos dels grups clàssics, i atres grups relacionats. Una d'estes famílies de grups és la família dels grups generals llineals sobre cossos finitos. Els grups finitos també sorgixen quan es considera la simetria d'objectes matemàtics o físics, quan eixos objectes admeten només un número finito de transformacions que preserven l'estructura. La teoria dels grups de Lie, que pot ser vista com un tracte en la «simetria contínua», està fortament influenciada pels grups de Weil associats. Hi ha grups finitos generats per reflexions que actuen sobre un espai euclídeo de dimensió finita. Les propietats dels grups finitos poden aixina eixercitar un paper important en àrees com la física teòrica i química.

Eixemples

Grups de permutació

Artícul principal → Grup de permutació.

El grup simètric S_N descriu totes les permutacionés de N elements. Hi ha N! permutació possibles que donen l'orde del grup. Pel teorema de Cayley, qualsevol grup finito pot ser expressat com un subgrup d'un grup simètric per a un determinat sancer N. El grup alternante és el subgrup corresponent únicament de les permutació pares.

Grups cíclicos

Artícul principal → Grup cíclico.

Un grup cíclico Z_N és un grup en la que tots els seus elements són potències d'un determinat element a a on a^N=a⁰=i, l'element identitat. Un eixemple típic d'este grup són les N-ésimas raïls de l'unitat complexes. Relacionant a a una raïl primitiva de l'unitat s'obté un isomorfisme entre les dos. Açò pot ser realisat en qualsevol grup cíclico finito.

Grups de Lie

Artícul principal → Grup del tipo Lie.

Vore també

• Grup (matemàtica)
• Orde (teoria de grups)
• Teoria de grups
• Teorema de Lagrange (teoria de grups)
• Teorema de Cauchy (teoria de grups)