Grup simètric

Archiu:Symmetric group 4; Cayley graph 4,9.svg

Grafo de Cayley d'un grup simètric d'orde 4 (S₄)

En matemàtiques, el grup simètric sobre un conjunt $X$, denotat per $S_X,{𝔖}_X,{\Sigma }_X,X!$ o $\mathrm{Sym}(X)$, és el grup format per les aplicacions biyectivas de $X$ en sí mateixa, baixe l'operació de composició de funcions.

Quan $X=\{1,2,\dots ,n\}$ és un conjunt finito, el grup $S_X$ es denomina grup de permutació de $n$ elements, i es denota per $S_n,{𝔖}_n,{\Sigma }_n$ o $\mathrm{Sym}(n)$. l'orde d'este grup és n!, i no és abeliano para $n\ge 3$.

El teorema de Cayley afirma que tot grup $G$ és isomorfo a un subgrup del seu grup simètric $S_G$. En el cas particular de que $G$ siga finito d'orde $n$, llavors $G$ és isomorfo a un subgrup de $S_n$.

Composició de permutació

Hi ha diverses formes de representar una permutació. Podem escriure una permutació σ en forma de matriu, situant en primera fila els elements del domini 1, 2, 3..., i en la segona les imàgens corresponents σ(1), σ(2), σ(3),....

Donada dos permutació, la seua composició es realisa seguint les regles usuals de composició de funcions:

Si

$\sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 2& 4& 6& 5& 1\end{array}\right)$

i

$\tau =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 4& 1& 2& 5& 3& 6\end{array}\right)$

la seua composició és: $\tau \circ \sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 1& 5& 6& 3& 4\end{array}\right)$

El càlcul de la composició pot seguir-se d'un modo visual, recordant que en compondre funcions s'opera de dreta a esquerra:

Archiu:Composicion de permutaciones.svg

Presentació del grup de permutació de n elements

Generadors

Recordem que una trasposición és una permutació que intercanvia dos elements i fixa els restants. Tota permutació es descompon com a producte de trasposiciones. D'esta manera, el conjunt de les trasposiciones forma un sistema generador de $S_n$. Pero és possible reduir encara més este sistema restringint-nos a les trasposiciones de la forma ${\tau }_i=(i,i+1)$. En efecte, per a i<j podem descompondre qualsevol trasposición en la forma:

$(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)$

Relacions elementals

Estos generadors permeten definir una presentació del grup simètric, junt en les relacions:

• ${{\tau }_i}^2=1$,
• ${\tau }_i{\tau }_j={\tau }_j{\tau }_i\text{si }|j-i|>1$,
• $({\tau }_i{\tau }_{i+1}{)}^3=1.$.

Atres generadors

És possible igualment usar com a sistema de generadors:

• Les trasposiciones de la forma (1 i), en i>1.
• El conjunt format per sol dos generadors:la trasposición σ=(1 2) i el cicle c=(1 2 ... n).

Referències

Bibliografia

• Dummit; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
• Rotman, Joseph J. (2012). An Introduction to the Theory of Groups, Springer.