Série de composició

En matemàtiques, i en particular en àlgebra abstracta, es denomina série de composició d'un grup $G$ a una successió finita $S$

$S:\{1\}=G_0⊊G_1⊊\mathrm{...}⊊G_{n-1}⊊G_n=G$

en la que cada grup $G_{i-1}$ és un subgrup normal de $G_i$, i cada grup cocient $G_i/G_{i-1}$ és simple. A estos grups cocient se'ls denomina factors de la série. Convé senyalar que no cal que cada grup $G_i$ siga normal en $G$, sino solament en el següent grup de la série (la normalitat no és una propietat transitiva).

La série de composició d'un grup $G$ no es pot refinar, en el sentit de que no es pot intercalar un grup entre dos elements consecutius de la série. Un grup pot no admetre cap série de composició, per eixemple quan $G$ és infinit i abeliano. No obstant, si un grup $G$ admet una série de composició, llavors els seus factors són únics, salve per l'orde o per isomorfisme de grups.

Unicitat de la série de composició

Es diu que dos séries

$S:\{1\}=G_0⊊G_1⊊\mathrm{...}⊊G_{n-1}⊊G_n=G$, i

$T:\{1\}=H_0⊊H_1⊊\mathrm{...}⊊H_{m-1}⊊H_m=G$

són equivalents si $m=n$ i existix una permutació $\sigma$ del conjunt de $n$ elements tal que

$G_i/G_{i-1}\simeq H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}$.

És dir, dos séries són equivalents si els seus grups factors són isomorfos un a un, independentment de l'orde.

La teorema de Jordan-Hölder establix que si dos séries $S$ i $T$ són séries de composició d'un mateix grup $G$, llavors abdós séries són equivalents. En conseqüència, es pot dir que la série de composició d'un grup és única (llevat equivalència).

La série de composició d'un grup reflectix part de la seua estructura interna. No obstant, no reflectix el seu tipo d'isomorfisme, ya que dos grups no isomorfos entre sí poden tindre séries de composició equivalents. Un eixemple ho formen el grup dels cuaterniones $Q_8$ i el grup diedral $D_4$. Estos dos grups no són isomorfos, encara que tenen el mateix orde; no obstant els seus factors són en abdós casos tres còpies del grup cíclico $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Això significa que no sempre hi ha una única forma de combinar grups factors, procés que es denomina extensió de grups.

Vore també

• Grup resoluble.

Referències

Bibliografia

• (2004) Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
• Rotman, Joseph J. (2012). An Introduction to the Theory of Groups, Springer.