Grup simple

En l'àlgebra moderna, i concretament, en teoria de grups, un grup simple és un grup no trivial en exactament dos subgrups normals: el subgrup trivial i ell mateixa.

Grups simples finitos

L'importància dels grups finitos simples es deu a que en cert sentit són els "blocs" que formen tots els grups finitos, d'igual forma que els número primo formen els sancers. Aixina, tot grup finito admet una série de composició $1=H_0◃H_1◃\cdots ◃H_n=G,$ sent n la llongitut de la série i a on cada factor de composició H_i+1 / H_i és un grup simple. Pel teorema de Jordan-Hölder totes les séries de composició del grup són equivalents, tenint la mateixa llongitut i factors de composició llevat permutació i isomorfismes.

En 1982 es va conseguir terminar una classificació dels grups finitos simples establint-se que tot grup finito simple pertany a una de 18 famílies infinites de tals grups, en l'excepció de 26 grups, cridats grups esporàdics. El major d'ells és conegut com grup mònstruo. Aixina, tot grup finito simple pot ser:

• Un grup cíclico d'orde primer. Es tracten dels únics grups finitos simples abelianos. El famós teorema de Walter Feit i John G. Thompson establix que tot grup finito d'orde impar és resoluble. Per tant, tot grup finito simple té orde parell excepto si és un grup cíclico d'orde primer.

• Un grup no abeliano d'orde parell que pot ser:
  • Un grup alternat de grau a lo manco 5.
  • Un grup de tipo Lie (no confondre en grup de Lie, que són varietats diferenciables, després mai seran finitos) simple incloent:
    • Els grups clàssics: Els grups de les transformacions proyectivo especial, unitàries, simplécticas o ortogonals sobre un cos finito.
    • Un grup de Lie excepcional o twisted incloent al grup de Tits ²F₄(2)′.
  • Un dels 26 grups esporàdics incloent al grup "mònstruo", construcció de Robert Louis Griess, a principis de 1980.

Vore també

• Grup finito
• Grup abeliano