Teorema de classificació de grups simples

En matemàtiques, la classificació dels grups simples finitos és una teorema que establix que cada grup simple finito és cíclico o alternante, o pertany a una àmplia classe infinita cridada grups de tipo Lie, o be és una de vintissís o vintisset excepcions, cridades grups esporàdics. La teoria de grups és fonamental per a moltes àrees de les matemàtiques pures i aplicades i la teorema de classificació ha segut calificat com un dels grans guanys intelectuals de la humanitat. Les demostracions que sustenten esta classificació consten de decenes de mils de pàgines en varis centenars d'artículs de revistes escrits per uns 100 autors, publicats principalment entre 1955 i 2004.

Els grups simples poden vore's com els blocs de construcció bàsics de tots els grups finitos, lo que recorda la forma en que els número primo són els blocs de construcció bàsics dels número natural. La série de composició és una forma més precisa d'enunciar este fet sobre els grups finitos. No obstant, una diferència significativa en la factorización de sancers és que tals blocs de construcció no necessàriament determinen un grup únic, ya que pot haver molts grups que no siguen isomorfos en la mateixa série de composició o, dit d'una atra manera, el problema d'extensió no té una solució única.

Gorenstein, Lyons i Solomon varen mamprendre la publicació gradual d'una versió simplificada i revisada de la demostració.

Declaració de la teorema de classificació

Artícul principal → Anex:Grups simples finitos.

La teorema de classificació té aplicacions en moltes branques de les matemàtiques, ya que les preguntes sobre l'estructura dels grups finitos (i la seua acció sobre atres objectes matemàtics) a voltes poden reduir-se a preguntes sobre grups simples finitos. Gràcies a la teorema de classificació, estes preguntes a voltes es poden respondre comprovant cada família de grups simples i cada grup esporàdic.

Daniel Gorenstein va anunciar en 1983 que tots els grups finitos simples havien segut classificats, pero esta afirmació va resultar prematura, ya que se li havia informat mal sobre la prova de la classificació del grup cuasidelgado. La prova completa de la classificació va ser anunciada per Aschbacher (2004) en acabant de que Aschbacher i Smith publicaren una demostració de 1221 pàgines per al cas faltante del grup cuasidelgado

Resum de la demostració de la teorema de classificació

Gorenstein va escriure dos volums que descriuen el ranc baix i la singular part característica de la demostració; i Aschbacher, Lyons, Smith i Solomon varen escriure un tercer volum que cobrix el cas restant de la característica 2. La prova es pot dividir en vàries parts principals de la següent manera:

Grups de ranc 2 menuts

Els grups simples de ranc 2 menuts són en la seua majoria grups de tipo Lie de ranc chicotet sobre cossos de característica impar, junt en cinc grups alternantes i sèt de tipo de característica 2 i nou grups esporàdics.

Els grups simples de ranc 2 menuts inclouen:

• Grups de ranc 2, 0: en atres paraules grups d'orde impar, que són tots resolubles per mig del teorema de Feit–Thompson.
• Grups de ranc 2, 1: els subgrups de Sylow 2 són cíclicos, que són fàcils de manejar usant una aplicació de transferència, o els cuaterniones generalisats, que es manegen segons el teorema de Brauer-Suzuki: en particular, no hi ha grups simples de ranc 2, 1.
• Grups de ranc 2, 2: Alperin va demostrar que el subgrup de Sylow deu ser diedro, cuasidiédrico, enroscado o un subgrup de Sylow 2 de "O"₃ (4). El primer cas es va analisar per mig del teorema de Gorenstein-Walter que va mostrar que els únics grups simples són isomorfos a L₂ (q) per a q impar o A₇, el segon i tercer els casos varen ser resolts per mig del teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein, lo que implica que els únics grups simples són isomorfos a L₃(q) o O₃(q) per a q impar o M₁₁, i l'últim cas va ser analisat per Lyons, qui va demostrar que O₃(4) és l'única possibilitat simple.
• Grups seccionales ranc 2, com a màxim 4: classificats pel teorema de Gorenstein-Harada.

La classificació de grups de ranc 2 menuts, especialment els de ranc 2 com a màxim, fa un us intensiu de la teoria del caràcter ordinari i modular, que casi mai s'usa directament en atres parts de la classificació.

Tots els grups que no siguen de ranc chicotet 2 es poden dividir en dos classes principals: grups de tipo de component i grups de tipo de característica 2. Açò es deu a que si un grup té un ranc seccional 2 a lo manco 5, llavors MacWilliams va demostrar que els seus subgrups 2 de Sylow estan conectats, i el teorema d'equilibri implica que qualsevol grup simple en subgrups 2 de Sylow conectats és de tipo component o tipo de característica 2. Per a grups de ranc 2 baix, esta demostració no funciona, perque teoremes com la teorema del funtor señalizador solament funcionen per a grups en subgrups abelianos elementals de ranc a lo manco 3.

Grups de tipo de component

Es diu que un grup és de tipo component si per a algun centralizador C d'una involució, C/O(C) té un component (a on O(C) és el núcleu de C, el subgrup normal màxim d'orde impar).

Estos són més o menys els grups de tipo Lie de característica impar de gran ranc, i grups alterns, junt en alguns grups esporàdics. Un pas important en este cas és eliminar l'obstrucció del núcleu d'una involució. Açò es conseguix per mig del teorema B, que establix que cada component de C/O(C) és l'image d'un component de C.

L'idea és que estos grups tinguen un centralizador d'una involució en un component que siga un grup cuasisimple menor, que es pot supondre ya conegut per inducció. Llavors, per a classificar estos grups, es pren cada extensió central de cada grup simple finito conegut, i es troben tots els grups simples en un centralizador d'involució en este com a component. Açò dona un número prou gran de casos diferents per a verificar: no solament hi ha 26 grups esporàdics i 16 famílies de grups de tipo Lie i els grups alterns, sino que també molts dels grups de ranc chicotet o sobre camps menuts es comporten de manera diferent al cas general i deuen tractar-se per separat, i els grups de tipo de Lie de característica parell i impar també són prou diferents entre sí.

Grups de tipo de característica 2

Un grup és del tipo de característica 2 si el subgrup generalisat de Fitting F*(I) de cada subgrup 2-local I és un 2-grup.

Com sugerix el nom, estos són aproximadament els grups de tipo Lie sobre camps de característica 2, més un grapat d'uns atres que són alternantes, esporàdics o de característica impar. La seua classificació es dividix en els casos de ranc chicotet i gran, a on el ranc és el ranc més gran d'un subgrup abeliano impar que normalisa un subgrup 2 no trivial, que a sovint (pero no sempre) és el mateix que el ranc d'una subálgebra de Cartan quan el grup és un grup de tipo Lie en la característica 2.

Els grups de ranc 1 són els grups prims, classificats per Aschbacher, i els de ranc 2 són els notoris grups cuasidelgados, classificats per Aschbacher i Smith. Estos corresponen aproximadament a grups de tipo Lie de rancs 1 o 2 sobre camps de característica 2.

Els grups de ranc a lo manco 3 es subdividen en 3 classes pel teorema de la tricotomia, provat per Aschbacher per al ranc 3 i per Gorenstein i Lyons per al ranc d'a lo manco 4.

Les tres classes són grups de tipo GF(2) (classificats principalment per Timmesfeld), grups de tipo estàndar per a algun cosí impar (classificats per la teorema de Gilman-Griess i funcionen per a varis atres), i grups de tipo d'unicitat, a on un resultat de Aschbacher implica que no hi ha grups simples.

El cas general de ranc superior consistix principalment en els grups de tipo Lie sobre camps de característica 2 de ranc a lo manco 3 o 4.

Existència i singularitat dels grups simples

La part principal de la classificació produïx una caracterisació de cada grup simple. Llavors és necessari comprovar que existix un grup simple per a cada caracterisació i que és únic. Açò dona una gran cantitat de problemes separats; per eixemple, les proves originals d'existència i unicitat del grup mònstruo varen totalisar unes 200 pàgines, i l'identificació dels grups de Ree per Thompson i Bombieri va ser una de les parts més difícils de la classificació. Moltes de les proves d'existència i algunes de les proves d'unicitat per als grups esporàdics originalment usaven càlculs per ordenador, la majoria dels quals han segut reemplaçats per proves manuals més curtes.

Història de la prova

El programa de Gorenstein

En 1972 Gorenstein (1979, Appendix) va anunciar un programa per a completar la classificació de grups finitos simples, que consta dels següents 16 passos:

1. Grups de baix ranc 2. Resolt essencialment per Gorenstein i Harada, els qui varen classificar els grups en ranc 2 seccional com a màxim 4. La majoria dels casos de ranc 2 com a màxim 2 s'havien realisat quan Gorenstein va anunciar el seu programa.
2. La semisimplicidad de les 2 capes. El problema és demostrar que la capa 2 del centralizador d'una involució en un grup simple és semisimple.
3. Forma estàndart en característica impar. Si un grup té una involució en un component de 2 que és un grup de tipo Lie de característica impar, l'objectiu és mostrar que té un centralizador d'involució en "forma estàndar", lo que significa que un centralizador d'involució té un component que és de tipo Lie en característica impar i també té un centralizador de ranc 2 seccional 1.
4. Classificació de grups de tipo impar. El problema és mostrar que si un grup té un centralizador d'involució en "forma estàndar", llavors és un grup de tipo Lie de característica impar. Açò va ser resolt per mig del teorema d'involució clàssica de Aschbacher.
5. Forma cuasi estàndar.
6. Involució centrals.
7. Classificació de grups alterns.
8. Alguns grups esporàdics.
9. Grups prims. Els grups finitos prims simples, aquells en 2-local ranc p com a màxim 1 per a cosins impars p, varen ser classificats per Aschbacher en 1978.
10. Grups en un subgrup fortament p-incrustat per a p impar.
11. El método del funtor del señalizador per a cosins impars. El principal problema és demostrar la teorema del funtor señalizador para funtores señalizadores no resolubles, problema resolt per McBride en 1982.
12. Grups de tipo de característica p. És el problema dels grups en un subgrup 2 local fortament incrustat en p, sent p impar, que va ser manejat per Aschbacher.

1. Grups cuasidelgados. Un grup cuasidelgado és aquell que els seus dos subgrups locals tenen ranc p com a màxim 2 per a tots els cosins impars p, i el problema és classificar els simples del tipo de característica 2. Açò va ser completat per Aschbacher i Smith en 2004.
2. Grups de baix ranc 2 local 3, resolt essencialment pel teorema de la tricotomia de Aschbacher per a grups en i(G) = 3. El canvi principal és que el ranc 3 local 2 es reemplaça pel ranc p 2 local per a cosins impars.
3. Centralizadores de 3 elements en forma estàndar, demostrat essencialment per mig del teorema de la tricotomia.
4. Classificació de grups simples de tipo característica 2, d'acort en el teorema de Gilman-Griess, en 3 elements reemplaçats per p elements per a cosins impars.

Cronologia de la prova

Molts dels elements de la llista que figura a continuació s'han pres de Solomon (2001). La data donada sol ser la data de publicació de la prova completa d'un resultat, que a voltes és varis anys despuix de la prova o el primer anunci del resultat, per lo que alguns dels elements apareixen en l'orde "incorrecte".

Data de publicació
1832	Galois introduïx subgrups normals i troba els grups simples An (n ≥ 5) i PSL2 (Fp) (p ≥ 5).
1854	Cayley definix grups abstractes.
1861	Mathieu descriu els dos primers grups de Mathieu M11, M12, els primers grups simples esporàdics, i anuncia l'existència de M24.
1870	Jordan enumera alguns grups simples: els llineals especials alternantes i proyectivos, i emfatisa l'importància dels grups simples.
1872	Sylow prova els Teoremes de Sylow.
1873	Mathieu presenta tres grups de Mathieu més: M22, M23 i M24.
1892	Hölder prova que l'orde de qualsevol grup simple finito no abeliano deu ser un producte d'a lo manco quatre número primo (no necessàriament distints), i demana una classificació de grups simples finitos.
1893	Cole classifica grups simples d'orde fins a 660.
1896	Frobenius i Burnside comencen l'estudi de la teoria del caràcter de grups finitos.
1899	Burnside classifica els grups simples de tal manera que el centralizador de cada involució és un grup 2 abeliano elemental no trivial.
1901	Frobenius demostra que un grup de Frobenius té un núcleu de Frobenius, per lo que en particular no és simple.
1901	Dickson definix grups clàssics sobre camps finitos arbitraris i grups excepcionals de tipo G2 sobre camps de característiques impars.
1901	Dickson presenta els grups finitos simples excepcionals de tipo I6.
1904	Burnside usa la teoria del caràcter per a demostrar el teorema de Burnside, que implica que l'orde de qualsevol grup simple finito no abeliano deu ser divisible per a lo manco 3 cosins distints.
1905	Dickson introduïx grups simples de tipo G2 sobre camps de característiques parells.
1911	Burnside conjectura que tot grup simple finito no abeliano té un orde uniforme.
1928	Hall prova l'existència dels subgrups de Hall de grups resolubles.
1933	Hall comença el seu estudi dels p-grups
1935	Brauer comença l'estudi dels caràcters modular.
1936	Zassenhaus classifica grups de permutació finitos nítidamente 3-transitivos.
1938	Fitting presenta el subgrup de Fitting i demostra la teorema de Fitting de que per als grups que es poden resoldre el subgrup de Fitting conté el seu centralizador.
1942	Brauer descriu els caràcters modular d'un grup divisible per un cosí a la primera potència.
1954	Brauer classifica els grups simples en GL2 (Fq) com centralizador d'una involució.
1955	El teorema de Brauer-Fowler implica que el número de grups simples finitos en un centralizador d'involució donat és finito, lo que sugerix un atac a la classificació utilisant centralizadores de involució.
1955	Chevalley presenta els grups de Chevalley, en particular els grups simples excepcionals de tipos F4, I7 i I8.
1956	Teorema de Hall-Higman.
1957	Suzuki demostra que tots els grups CA finitos simples d'orde impar són cíclicos.
1958	El teorema de Brauer-Suzuki-Wall caracterisa els grups llineals especials proyectivos de ranc 1 i classifica els grups CA simples.
1959	Steinberg introduïx els grups de Steinberg, donant alguns nous grups finitos simples, dels tipos 3D4 i 2I6 (estos últims varen ser trobats independentment aproximadament al mateix temps per Tits).
1959	El teorema de Brauer-Suzuki sobre grups en el cuaternión generalisat i 2-subgrups de Sylow mostra en particular que cap d'ells és simple.
1960	Thompson demostra que un grup en un automorfisme d'orde primari lliure de punts fixos és nilpotent.
1960	Feit, Marshall Hall i Thompson demostren que tots els grups CN finitos simples d'orde impar són cíclicos.
1960	Suzuki presenta els grups de Suzuki, en els tipos 2B2.
1961	Ree presenta els grups de Ree, en els tipos 2F4 i 2G2.
1963	Feit i Thompson proven el teorema de l'orde impar.
1964	Tits introduïx parells BN per a grups de tipo Lie i troba el grup de Tits
1965	El teorema de Gorenstein-Walter classifica els grups en un 2-subgrup de Sylow diédrico.
1966	Glauberman demostra el teorema Z*.
1966	Janko presenta el grup J1 de Janko, el primer grup esporàdic nou en aproximadament un sigle.
1968	Glauberman demostra el teorema ZJ.
1968	Higman i Sims presenten el grup de Higman-Sims.
1968	Conway presenta els grups de Conway.
1969	El teorema de Walter classifica grups en 2 subgrups abelianos de Sylow.
1969	Introducció del grup esporàdic de Suzuki, del grup J2 de Janko, del grup J3 de Janko, del grup de McLaughlin i del grup de Held.
1969	Gorenstein presenta el funtor señalizador basant-se en les idees de Thompson.
1970	MacWilliams demostra que els grups 2 sense subgrup abeliano normal de ranc 3 tenen un ranc 2 seccional com a màxim 4. (Els grups simples en subgrups de Sylow que satisfan esta última condició varen ser classificats posteriorment per Gorenstein i Harada).
1970	Bender va presentar el subgrup generalisat de Fitting.
1970	El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein classifica els grups en 2 subgrups de Sylow cuasi-diedros o en corona, completant la classificació dels grups simples de 2 rancs com a màxim 2.
1971	Fischer presenta els tres grups de Fischer.
1971	Thompson classifica els parells quadràtics.
1971	Bender classifica el grup en un subgrup fortament embebido.
1972	Gorenstein propon un programa de 16 passos per a classificar grups simples finitos; la classificació final seguix el seu esquema prou de prop.
1972	Lyons presenta el grup de Lyons.
1973	Rudvalis produïx el grup de Rudvalis.
1973	Fischer descobrix el grup mònstruo bebé (inèdit), que Fischer i Griess usen per a descobrir el grup mònstruo, que a la seua volta du a Thompson al grup esporàdic de Thompson i a Norton al grup de Harada-Norton (també trobat d'una atra manera per Harada).
1974	Thompson classifica els grups N, agrupa tots els subgrups locals dels quals es poden resoldre.
1974	El teorema de Gorenstein-Harada classifica els grups simples de ranc 2 seccional com a màxim 4, dividint els restants grups simples finitos en els de tipo component i els de tipo de característica 2.
1974	Tits demostra que els grups en parell BN de ranc a lo manco 3 són grups de tipo Lie.
1974	Aschbacher classifica els grups en un núcleu generat 2 propi.
1975	Gorenstein i Walter proven el teorema d'equilibri L.
1976	Glauberman demostra la teorema solucionable del funtor señalizador.
1976	Aschbacher prova el teorema component, demostrant aproximadament que els grups de tipo impar que satisfan algunes condicions tenen un component en forma estàndar. Els grups en un component de forma estàndar varen ser classificats en una gran colecció d'artículs per molts autors.
1976	O'Nan presenta el grup d'O'Nan.
1976	Janko presenta el grup J4 de Janko, l'últim grup esporàdic en ser descobert.
1977	Aschbacher caracterisa els grups de tipo Lie de característica impar en la seua teorema d'involució clàssica. Despuix d'esta teorema, que en cert sentit tracta de la majoria dels grups simples, es va considerar en general que el final de la classificació estava a la vista.
1978	Timmesfeld demostra la teorema extraespecial d'O2, dividint la classificació de grups de tipo GF(2) en varis problemes més menuts.
1978	Aschbacher classifica els grups prims finitos, que en la seua majoria són grups de ranc 1 de tipo Lie sobre cossos de característiques parells.
1981	Bombieri utilisa la teoria de l'eliminació per a completar el treball de Thompson sobre la caracterisació del grup de Ree, un dels passos més difícils de la classificació.
1982	McBride prova el teorema del funtor señalizador para tots els grups finitos.
1982	Griess construïx manualment el grup mònstruo.
1983	El teorema de Gilman-Griess classifica grups de tipo de característica 2 i classifica a lo manco 4 en components estàndar, un dels tres casos de la teorema de la tricotomia.
1983	Aschbacher demostra que cap grup finito satisfà l'hipòtesis del cas d'unicitat, un dels tres casos donats per la teorema de la tricotomia per a grups de tipo característica 2.
1983	Gorenstein i Lyons proven el teorema de la tricotomia per a grups de tipo de característica 2 i classifiquen a lo manco 4, mentres que Aschbacher ho fa en el cas de ranc 3. Açò dividix estos grups en 3 subcampos: el cas d'unicitat, grups de tipo GF(2) i grups en un component estàndar.
1983	Gorenstein anuncia que la prova de la classificació està completa, alguna cosa prematurament, ya que la prova del cas cuasidelgado estava incompleta.
1994	Gorenstein, Lyons i Solomon comencen la publicació de la classificació revisada.
2004	Aschbacher i Smith publiquen el seu treball sobre grups cuasidelgados (que són en la seua majoria grups de tipo Lie de ranc com a màxim 2 sobre camps de característica parell), omplint l'últim buit en la classificació coneguda en eixe moment.
2008	Harada i Solomon omplin un chicotet buit en la classificació en descriure grups en un component estàndar que és una tapa del grup M22 de Mathieu, un cas que es va ometre accidentalment de la prova de la classificació per un error en el càlcul del multiplicador de Schur de M22.
2012	Gonthier i els seus colaboradors anuncien una versió verificada per computadora del teorema de Feit-Thompson usant la demostració interactiva de teoremes Coq.

Classificació de segona generació

La demostració de la teorema, tal com estava al voltant de 1985, pot cridar-se de primera generació. Per l'extensió extrema de la prova de primera generació, s'ha dedicat molt esforç a trobar una prova més simple, cridada prova de classificació de segona generació. Este esforç, denominat revisionisme, va ser dirigit originalment per Daniel Gorenstein.

Plantilla:As of, s'han publicat nou volums de la prova de segona generació (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). En 2012, Solomon va estimar que el proyecte necessitaria atres 5 volums, pero va dir que el progrés en ells era llent. S'estima que la nova prova finalment ocuparà aproximadament 5000 pàgines. Esta extensió es deu en part a que la prova de segona generació està escrita en un estil més relaixat. No obstant, en la publicació del volum 9 de la série, i incloent la contribució de Aschbacher-Smith, esta estimació ya es va alcançar, en varis volums més encara en preparació (el restant de lo que originalment estava destinat al volum 9, més els volums proyectats 10 i 11). Aschbacher i Smith varen escriure els seus dos volums dedicats al cas cuasidelgado, de tal manera que eixos volums poden ser part de la prova de segona generació.

Gorenstein i els seus colaboradors han donat vàries raons per les que és possible una demostració més simple.

• Lo més important és que ara es coneix l'enunciat final correcte de la teorema. Es poden aplicar tècniques més simples que se sap que són adequades per als tipos de grups que se sap que són finitos simples. En contrast, aquells que varen treballar en la prova de la primera generació no sabien quànts grups esporàdics hi havia i, de fet, alguns dels grups esporàdics (per eixemple, els grups de Janko) es varen descobrir mentres es provaven atres casos de la teorema de classificació. Com a resultat, moltes de les peces de la teorema es varen provar utilisant tècniques que eren massa generals.
• Degut a que es desconeixia la conclusió, la prova de primera generació consta de moltes teoremes independents que tracten en casos especials importants. Gran part del treball de provar estes teoremes es va dedicar a l'anàlisis de numerosos casos especials. Donada una prova més àmplia i organisada, el tractament de molts d'estos casos especials pot pospondre's fins que es puguen aplicar suposts més potents. El preu que es paga en esta estratègia revisada és que estes teoremes de primera generació ya no tenen demostracions comparativament breus, sino que es basen en la classificació completa.
• Moltes teoremes de primera generació se superponen i, per lo tant, dividixen els casos possibles de forma ineficiente. Com a resultat, les famílies i subfamílies de grups finitos simples es varen identificar vàries voltes. La prova revisada elimina estes redundància basant-se en una subdivisió diferent de casos.
• Els teòrics dels grups finitos tenen més experiència en este tipo d'eixercici i tenen noves tècniques a la seua disposició.

Aschbacher (2004) ha calificat el treball sobre el problema de classificació de Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth i alguns atres, com un programa de tercera generació. Un dels objectius d'este treball és tractar tots els grups de característica 2 de manera uniforme utilisant el método d'amalgama.

¿Per qué la prova és tan llarga?

Gorenstein ha analisat algunes de les raons per les que podria no haver una prova breu de la classificació similar a la classificació del grup de Lie compacte.

• La raó més òbvia és que la llista de grups simples és prou complicada: en 26 grups esporàdics és provable que hi haja molts casos especials que deuen ser considerats en qualsevol demostració. Fins ara ningú ha trobat una descripció neta i uniforme dels grups simples finitos similar a la parametrización dels grups de Lie compactes per mig dels diagrames de Dynkin.
• Atiyah i uns atres han sugerit que la classificació deuria simplificar-se construint algun objecte geomètric sobre el que actuen els grups i després classificant estes estructures geomètriques. El problema és que ningú ha pogut sugerir una forma senzilla de trobar una estructura geomètrica d'este tipo associada a un grup simple. En cert sentit, la classificació funciona en trobar estructures geomètriques com el parell BN, pero açò solament aplega al final d'un anàlisis molt llarc i difícil de l'estructura d'un grup simple finito.

• Una atra sugerència per a simplificar la demostració és fer un major us de la teoria de la representació. El problema ací és que la teoria de la representació sembla requerir un control molt estricte sobre els subgrups d'un grup per a funcionar be. Per a grups de ranc menut, s'obté un control efectiu i la teoria de la representació funciona molt be, pero no és aixina en els grups de major ranc, a on ningú ha conseguit utilisar la teoria per a simplificar la classificació. En els primers dies de la classificació es va fer un esforç considerable per a utilisar la teoria de la representació, pero mai va conseguir molt èxit en el cas de ranc superior.

Conseqüències de la classificació

En esta secció s'enumeren alguns resultats que s'han provat utilisant la classificació de grups simples finitos:

• La conjectura de Schreier
• El teorema del funtor señalizador
• El conjectura B
• El teorema de Schur-Zassenhaus para tots els grups (encara que solament s'usa el teorema de Feit-Thompson).
• Un grup de permutació transitiva en un conjunt finito en més d'1 element té un element lliure de punt fix d'orde de potència principal.
• La classificació de grups de permutació 2 transitiva.
• La classificació de grups de permutació de ranc 3.
• La conjectura de Sims.
• La conjectura de Frobenius sobre el número de solucions de xⁿ = 1.

Vore també

• Teorema d'O'Nan-Scott

Bibliografia

• Aschbacher, Michael. The Status of the Classification of the Finite Simple Groups, pp. 736–740.
• (2011).«The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type».172
• (1985).«Atles of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups».Oxford University Press.
• (1979).«The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis».Bulletin of the American Mathematical Society.1(1)

43–199.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8.

• (1982).«Finite simple groups».Plenum Publishing Corp..New York:

• (1983).«The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type».Plenum Press.
• Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", "Scientific American", 1 de decembre de 1985, vol. 253, no. 6, págs. 104-115.
• (1986).«Classifying the finite simple groups».Bulletin of the American Mathematical Society.14(1)

1–98.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0273-0979-1986-15392-9.

• (1994).«The classification of the finite simple groups».American Mathematical Society.Providence, R.I.:40
• (1996).«The classification of the finite simple groups, Number 2».American Mathematical Society.Providence, R.I.:40
• (1998).«The classification of the finite simple groups, Number 3».American Mathematical Society.Providence, R.I.:40
• (1999).«The classification of the finite simple groups, Number 4. Part II, Chapters 1-4: Uniqueness Theorems».American Mathematical Society.Providence, R.I.:40
• (2002).«The classification of the finite simple groups, Number 5».American Mathematical Society.Providence, R.I.:40
• (2005).«The classification of the finite simple groups, Number 6: Part IV: The Special Odd Case».American Mathematical Society.Providence, R.I.:40
• (2018).«The classification of the finite simple groups, Number 7: Part III, Chapters 7–11: The Generic Case, Stages 3b and 4a».American Mathematical Society.Providence, R.I.:40

• (2018).«The Classification of the Finite Simple Groups, Number 8: Part III, Chapters 12–17: The Generic Case, Completed».American Mathematical Society.Providence, R.I.:40
• Mark Ronan, Symmetry and the Monster , ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Introducció concisa per a llectors profans)
• Marcus du Sautoy, Finding Moonshine , Fourth Estigues, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (una atra introducció per al llector llec)
• Ron Solomon (1995) "Sobre grups simples finitos i la seua classificació", "Avisos de la Societat Matemàtica Nortamericana". (No massa tècnic i bo en història)
• (2001).«A brief history of the classification of the finite simple groups».Bulletin of the American Mathematical Society.38(3)

315–352.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0. - artícul guanyat premie Levi L. Conant per exposició

• (1984).«Group theory. Essays for Philip Hall».Academic Press.Boston, MA:

1–12.

• (2009).«The finite simple groups».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:251doi:10.1007/978-1-84800-988-2.

Enllaços externs

• ATLAS of Finite Group Representations. Base de senyes de busca de representacions i atres senyes per a molts grups finitos simples.
• Elwes, Richard, "Una teorema enorme: la classificació de grups simples finitos", Plus Magazine , número 41, decembre de 2006. Per a llaics.
• Madore, David (2003) Órdens de grups simples no belianos.
• Archivat el 4 de abril de 2005 archivat en Wayback Machine. Inclou una llista de tots els grups simples no belianos. fins al demanat 10¹⁰.
• ¿En quin sentit és "impossible" la classificació de tots els grups finitos?