Teoremes de Sylow

En matemàtiques, específicament en teoria de grups, les teoremes de Sylow són una série de teoremes nomenades en honor del matemàtic noruec Peter Ludwig Mejdell Sylow que proporcionen informació detallada sobre el número de subgrups d'orde fix continguts en un grup finito donat. Les teoremes de Sylow són una part fonamental de la teoria de grups finitos i tenen aplicacions molt importants en la classificació dels grups finitos simples.

Per a un número primo p, un p-subgrup de Sylow d'un grup G és un p-subgrup maximal de G, és dir, un subgrup l'orde del qual és una potència de p i que no està contingut estrictament en un atre p-grup. És dir, és un grup d'orde p^k que no està contingut en cap subgrup d'orde p^r a on k<r. El conjunt de tots els subgrups de Sylow d'un grup G se sol denotar com Syl_p(G).

Les teoremes de Sylow constituïxen reciprocas parcials al teorema de Lagrange el qual afirma que para tot grup finito G, l'orde de qualsevol subgrup deu dividir a l'orde de G. En sentit contrari, per a qualsevol factor primer p de l'orde d'un grup finito G, existirà un p-subgrup de Sylow d'orde pⁿ a on n és precisament la multiplicitat del factor primer p en l'orde de G i qualsevol subgrup en el mateix orde serà també un p-subgrup de Sylow.

Tots els subgrups de Sylow d'un grup fix i un primer dau són conjugats entre sí. Finalment, l'última teorema de Sylow establix una condició sobre el número possible de p-subgrups de Sylow, indicant que este número serà congruent a 1 mòdul p.

Teoremes de Sylow

En teoria de grups és comú trobar coleccions de subgrups que siguen maximales en algun o un atre sentit. El resultat rellevant ací és que en el cas de Syl_p(G), tots els seus elements són isomorfos entre sí i tenen el major orde possible: si |G|=pⁿm en n > 0 a on p no dividix a m, llavors tot p-subgrup de Sylow P té orde |P| = pⁿ. Açò és, P és un p-grup i el mcd (|G : P|, p) = 1. Estes propietats poden usar-se per a analisar en major profunditat l'estructura de G.

Les següents teoremes varen ser enunciats i demostrats originalment per Ludwig Sylow en 1872, publicant-los en Mathematische Annalen.

Per a qualsevol factor primer p en multiplicitat n en l'orde del grup finito G, existix un p-subgrup de Sylow de G, en orde pn.

La següent és una versió més dèbil demostrada per primera volta per Cauchy:

Dau un grup finito G i un número primo p que dividixca a l'orde de G, existix un element d'orde p en G.

Dau un grup finito G, i un número primo p que dividix a l'orde de G, llavors tots els p-subgrups de Sylow són conjugats entre sí. És dir, si H i K són p-subgrups de Sylow llavors existix un element g en G tal que g−1Hg = K.

Conseqüències

Les teoremes de Sylow impliquen que per a un primer p, tot p-subgrup de Sylow té el mateix orde pⁿ. De manera inversa, qualsevol subgrup que tinga orde pⁿ serà necessàriament un p-subgrup de Sylow i ademés isomorfo als demés p-subgrups de Sylow. Per la condició de maximalidad, si H és un p-subgrup de G llavors H és un subgrup d'un p-subgrup de Sylow.

Una conseqüència important de la tercera teorema és que la condició n_p = 1 és equivalent a dir que en eixe cas, l'únic p-subgrup de Sylow és un subgrup normal (hi ha grups que tenen subgrups normals pero no tenen subgrups de Sylow normals, sent S₄ un eixemple d'això).

Teoremes de Sylow per a grups infinits

Existix un anàlec a la teorema de Sylow per a grups infinits. Definim un p-subgrup de Sylow en un grup infinit com un p-subgrup (és dir, un subgrup a on l'orde de tot element és una potència de p) maximal respecte a l'inclusió entre el conjunt de tots els p-subgrups. L'existència de tals subgrups es garantisa per mig del lema de Zorn.

Si K és un p-subgrup de Sylow de G i $n_p=|Cl(K)|$ és finito, llavors tot p-subgrup de Sylow és conjugat a K i np ≡ 1 mod p, a on Cl(K) denota la classe de conjugació de K.

Vore també

• Argument de Frattini
• Subgrup de Hall
• Subgrup maximal