Grup unitari

En matemàtiques, el grup unitari O_K(n) de grau n, és el grup de matrius unitàries (de n x n) les components de la qual pertanyen al cos $𝕂$. Estes matrius, en l'operació de grup donada per la multiplicació de matrius. (Usualment el cos $𝕂$ es pren com el conjunt dels reals $ℝ$ o el cos dels número complejo $ℂ$.)

El grup unitari, denotat O_$𝕂$ o O(n, $𝕂$), és un subgrup del grup general llineal GL(n, $𝕂$)

Eixemples

En el cas simple n = 1, el grup O(1) és el círcul unitat en el pla complex, en la seua multiplicació. Tots els grups unitaris complexos contenen còpies d'este grup.

Si el cos $𝕂$ és $ℝ$, els número real, llavors el grup unitari coincidix en el grup ortogonal O(n, $ℝ$). Si $𝕂$ és $ℂ$, els número complejo, s'escriu generalment O(n) per al grup unitari de grau n.

El grup unitari O(n) és un grup de Lie real de dimensió n². l'àlgebra de Lie de O(n) consistix en les matrius anti-simètriques complexes n per n, en el corchete de Lie donat pel commutador.

Subgrups

• El grup especial unitari SU(n) és un subgrup d'O(n).
• O(m), en m < n és un subgrup d'O(n).

Generalisació

El concepte de grup unitari pot estendre's a espais vectorials de dimensió infinita, com els espais de Hilbert usats en mecànica quàntica. Donat un operador autoadjunto $\hat{A}$, com el que representa una magnitut física pot definir-se un grup d'operadors unitaris per mig de:

${\hat{U}}_A(s)=\text{exp}(-\mathrm{i}\hat{A}s)s\in ℝ$

Els dos eixemples més notoris són el grup unitari d'evolució temporal, generat a partir del operador hamiltoniano i el grup de rotacions al voltant d'un eix, generat pel moment angular:

$\hat{U}(t)=\text{exp}(-\mathrm{i}\hat{H}t/\hslash )$

$\hat{R}(\theta )=\text{exp}(-\mathrm{i}{\hat{L}}_{eje}/\hslash )\theta \in [0,2\pi )$

Vore també

• Grup especial unitari
• SU(2)
• Àlgebra