Grup ortogonal

En matemàtica, el grup ortogonal de grau n sobre un cos $𝔽$ , designat com $O (n, 𝔽)$ , és el grup de matrius ortogonals n per n en les entrades en $𝔽$ , en l'operació de grup donada per la multiplicació de matrius. Est és un subgrup del grup general llineal $GL (n, 𝔽)$ .

Cada matriu ortogonal té determinant 1 o -1. Les matrius n per n ortogonals en determinant 1 formen un subgrup normal de $O (n, 𝔽)$ conegut com el grup ortogonal especial $SO (n, 𝔽)$ , també conegut com a grup de rotacions. Si la característica de $𝔽$ és 2, llavors $O (n, 𝔽)$ i $SO (n, 𝔽)$ coincidixen; en cas contrari l'índex de $SO (n, 𝔽)$ en $O (n, 𝔽)$ és 2.

$O (n, 𝔽)$ i $SO (n, 𝔽)$ són grups algebraics, perque la condició que una matriu és ortogonal, és dir que la seua pròpia transpuesta siga la seua inversa, es pot expressar com un conjunt d'equacions polinòmiques en les entrades de la matriu.

Els grups O(n) i SO(n) reals

Quan el cos matemàtic sobre el que es construïx el grup ortonormal és el cos $ℝ$ dels número real, el grup ortogonal $O (n, ℝ)$ i el grup ortogonal especial $S O (n, ℝ) \subset O (n, ℝ)$ a sovint és denotat simplement per $O (n)$ i $S O (n)$ si no hi ha confusió possible. En eixe cas els grups $O (n)$ i $S O (n)$ són grups de Lie reals, compactes i de dimensió n (n -1)/2. Ademés topológicamente $O (n)$ té dos components conexas, sent $S O (n)$ una d'estes dos components conexas, a saber, la component que conté la matriu identitat.

Els grups ortogonals especials reals i ortogonals reals tenen interpretacions geomètriques simples. O(n, R) és isomorfo al grup d'isometrías de Rⁿ que deixen l'orige fix. SO(n, R) és isomorfo al grup de rotacions de Rⁿ que deixa l'orige fix.

SO(2, R) és isomorfo (com a grup de Lie) al círcul S¹, consistint en tots els número complejo de valor absolut 1, en la multiplicació d'número complejo com a operació de grup. Este isomorfisme envia l'número complejo exp(φi) = cos(φ) + isen(φ) a la matriu ortogonal:

El grup SO(3, R), entés com el conjunt de rotacions de l'espai de 3 dimensions, és de gran importància en les ciències i l'ingenieria. Per a una descripció detallada, vore grup de rotació.

En térmens de topología algebraica, per a n > 2 el grup fonamental de SO(n, R') és cíclico d'orde 2, i el grup espinorial Spin(n) és la seua cubrimiento universal. Per a n = 2 el grup fonamental és cíclico infinit i el cubrimiento universal correspon a la recta real.

l'àlgebra de Lie associada als grups de Lie O(n, R) i SO(n, R) consistix en les matrius anti-simètriques reals n per n, en el corchete de Lie donat pel commutador. Esta àlgebra de Lie és denotada a sovint pel o(n, R) o pel baix(n, R).

Propietats

Els [grups de Lie] $SO (n, ℝ)$ i $O (n, ℝ)$ tenen dimensió $n (n - 1) / 2$ .
El grup $O (n)$ no és conexo.
El grup $SO (2)$ és conexo, encara que no és simplement conexo. Per a n > 2 $SO (n)$ té grup fonamental cíclico d'orde 2.

Els grups O(n,C) i SO(n,C) complexos

Sobre el cos C dels número complejo, O(n, C) i SO(n, C) són grups de Lie complexos de dimensió n (n -1)/2 sobre C (que significa que la dimensió sobre R és dos voltes eixa). O(n, C) té dos components conexas, i SO(n, C) és la component conexa que conté la matriu identitat. Per a n ≥ 2 estos grups són no compactes.

Exactament com en el cas real SO(n, C) no és simplement conexo. Per a n > 2 el grup fonamental de SO(n, C) és cíclico d'orde 2 mentres que el grup fonamental de SO(2, C) és cíclico infinit.

l'àlgebra de Lie complexa associada a O(n, C) i SO(n, C) consistix en les matrius anti-simètriques complexes n per n, en el corchete de Lie donat pel commutador.

Assunts relacionats

Este artícul conté una traducció derivada de «Grupo ortogonal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.