Matriu trasponer

Archiu:Matrix transpose.gif

La trasponer A^T d'una matriu A pot ser obtinguda reflectint els elements a lo llarc de la seua diagonal. Repetint el procés en la matriu trasponer torna els elements a la seua posició original. Aixina, la trasponer d'una trasponer és la matriu original, (A^T)^T = A.

Siga $A$ una matriu en $m$ files i $n$ columnes. La matriu trasponer, denotada en $A^t$.

Està donada per:

$(A^t{)}_{ij}=A_{ji},1\le i\le n,1\le j\le m$

En a on l'element $a_{ji}$ de la matriu original $A$ es convertirà en l'element $a_{ij}$ de la matriu trasponer $A^t$.

Eixemples

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right]$

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Un atre eixemple una miqueta més gran és el següent:

${\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ 1& 0& 4\\ 0& 1& 0\\ 0& 3& 2\\ 0& 2& 3\\ 0& 3& 4\\ 3& 3& 1\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 1& 3& 2& 3& 3\\ 4& 4& 0& 2& 3& 4& 1\end{array}\right]$

Propietats

Involutiva

Para tota matriu $A$,

$(A^t{)}^t=A$

Distributiva

Sean A i B matrius en elements en un anell $𝒜$ i siga $c\in 𝒜$:

$(A+B{)}^t=A^t+B^t$

Llineal

$(cA{)}^t=c{A}^t$

Per al producte usual de les matrius $A$ i $B$,

$(AB{)}^t=B^t{A}^t$

Si $A$ és una matriu quadrada les entrades de la qual són número real, llavors

$A^{t}A$

és semidefinida positiva.

Vore també

La definició de matriu trasponer s'usa en la definició de Matriu ortogonal.

• Escítala : Instrument antic per a sifrar mensages basat en la trasposición de matrius.
• Trasposición d'un operador llineal