Multiplicació de matrius

Multiplicació de matrius

En matemàtiques, la multiplicació o producte de matrius és l'operació de composició efectuada entre dos matrius, o be la multiplicació entre una matriu i un escalar segons unes determinades regles.

De la mateixa manera que la multiplicació aritmètica, la seua definició és instrumental, és dir, ve donada per un algoritme capaç d'efectuar-la. l'algoritme per a la multiplicació matricial és diferent del que resol la multiplicació de dos números. La diferència principal és que la multiplicació de matrius no complix en la propietat de conmutatividad.

Multiplicació d'una matriu per un escalar

Donades una matriu $A$ de $m$ files i $n$ columnes

$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

i $k\in ℝ$ llavors la multiplicació de $A$ pel escalar $k$, que es denota per $k\cdot A$ o simplement $kA$, es definix com la matriu

$kA=\left[\begin{array}{ccc}k{a}_{11}& \cdots & k{a}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ k{a}_{m1}& \cdots & k{a}_{mn}\end{array}\right]$

En el cas particular de multiplicació per sancers, es pot considerar com sumar o restar la mateixa matriu tantes voltes com indique l'escalar:

$n\times A=\underset{n}{\underbrace{A+\dots +A}}$

Propietats

Sean $A$ i $B$ matrius i $c,d\in ℝ$, la multiplicació de matrius per escalares complix en les següents propietats:

Propietat	Descripció
Clausura	cA és també una matriu
Element neutre	Existix l'element neutre u, de manera que 1·A = A
Propietat associativa	$(cd)A=c(dA)$
Propietat distributiva - D'escalar - De matriu	c(A+B) = cA+cB (c+d)A = cA+dona

Multiplicació d'una matriu per una atra matriu

Els resultats en les posicions marcades depenen de les files i columnes dels seus respectius colors.

Donades dos matrius $A$ i $B$, tals que $A\in {ℝ}^{m\times n}$ i $B\in {ℝ}^{n\times p}$, la multiplicació de $A$ per $B$, que es denota per $AB$, és una matriu en $m$ files i $p$ columnes que la seua $(i,j)$-ésima entrada és

$\sum _{r=1}^n{a}_{ir}{b}_{rj}$

és dir:

$\begin{array}{cc}AB& =\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1p}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{np}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}+\cdots +a_{1n}{b}_{n1}& \cdots & a_{11}{b}_{1p}+\cdots +a_{1n}{b}_{np}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}+\cdots +a_{mn}{b}_{n1}& \cdots & a_{m1}{b}_{1p}+\cdots +a_{mn}{b}_{np}\end{array}\right]\end{array}$

En la pàgina Matriu (matemàtica), concretament en la secció Operacions bàsiques entre matrius § Producte de matrius per matrius, es dona una justificació de per qué es definix aixina este producte, que d'una atra forma podria semblar arbitrari i fins a "caprichós".

Propietats

Siguen A, B i C matrius per a les quals la multiplicació entre elles està ben definida, és dir, tals que els seus elements pertanyen a un grup a on la multiplicació està definida, i de manera que el número de files i de columnes permet realisar la multiplicació; llavors es complixen les següents propietats:

Propietat	Descripció
Clausura	AB és també una matriu
Element neutre	Si A és una matriu quadrada de tamany m, llavors la matriu identitat Im×m és element neutre, de manera que: I·A = A·I = A
Propietat associativa	$(AB)C=A(BC)$
Propietat distributiva - Per la dreta - Per l'esquerra	$(A+B)C=AC+BC$ $C(A+B)=CA+CB$

El producte de dos matrius generalment no és conmutativo, és dir, AB ≠ BA.

$A{B}_{}^{}=$ $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\cdot$ $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]=$ $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$ i pel contrari $B{A}_{}^{}=$ $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\cdot$ $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=$ $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$

La divisió entre matrius, és dir, l'operació que podria produir el cocient A / B, no es troba definida. No obstant, existix el concepte de matriu inversa, només aplicable a les matrius invertibles.

Finalment, note que tant la multiplicació d'una matriu per un escalar, com la multiplicació de dos escalares, pot representar-se per mig d'una multiplicació de dos matrius:

$k{A}_{}^{}=$ $(kI)A_{}^{}=$ $\left[\begin{array}{cccc}k& 0& \cdots & 0\\ 0& k& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & k\end{array}\right]\cdot$ $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]=$ $\left[\begin{array}{ccc}k{a}_{11}& \cdots & k{a}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ k{a}_{n1}& \cdots & k{a}_{nn}\end{array}\right].$

Vore també

• Càlcul matricial

Referències

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.