Clausura (matemàtiques)

En matemàtiques, es parla de la clausura (o també tancament) d'un subconjunt d'un conjunt, quan està tancat baix una operació del conjunt major; és dir, si en operar en els membres del subconjunt el resultat sempre és un membre d'eixe subconjunt. Per eixemple, els número natural són tancats sobre la suma, pero no sobre la resta: 1 − 2 no és un número natural, encara que tant l'1 com el 2 lo són.

De manera similar, es diu que un subconjunt està tancat baix una "colecció" d'operacions si està tancat baix cada una de les operacions individualment.

El tancament d'un subconjunt és el resultat d'un operador de tancament aplicat al subconjunt. El tancament d'un subconjunt baix determinades operacions és el superconjunto més chicotet que es tanca baix estes operacions. A sovint se li crida extensió o conjunt generat.

Definicions

Siga S un conjunt equipat en un o varis métodos per a produir elements de S a partir d'atres elements de S. Es diu que un subconjunt X de S està "tancat" segons estos métodos si, quan tots els elements d'entrada estan en X, tots els resultats possibles també estan en X. A voltes, també es pot dir que X té la propietat de tancament.

La propietat principal dels conjunts tancats, que resulta immediatament de la definició, és que tota intersecció de conjunts tancats és un conjunt tancat. D'això es deduïx que per a cada subconjunt I de S, hi ha un subconjunt tancat més chicotet X de S tal que $Y\subseteq X$ (és l'intersecció de tots els subconjunts tancats que contenen a I). Depenent del context, X es denomina tancament de I o el conjunt generat o estés per I.

Els conceptes de conjunt tancat i de tancament a sovint s'estenen a qualsevol propietat de subconjunts que siguen estables en l'intersecció; és dir, tota intersecció de subconjunts que tenen la propietat, també la té. Per eixemple, en ${ℂ}^n,$ un conjunt tancat de Zariski, també conegut com conjunt algebraic, és el conjunt dels zeros comuns d'una família de polinomis, i el tancament de Zariski d'un conjunt V de punts és el conjunt algebraic més chicotet que conté a V.

En estructures algebraiques

Una estructura algebraica és un conjunt equipat en operacions que satisfan alguns axiomas. Estos axioma poden ser identitats. Alguns axioma poden contindre quantificadors d'existència ($\mathrm{\exists }$). En este cas, val la pena agregar algunes operacions auxiliars per a que tots els axioma es convertixquen en identitats o fòrmules purament quantificades universalment. Consulte's estructura algebraica per a obtindre més detalls.

En este context, donada una estructura algebraica S, una subestructura de S és un subconjunt que està tancat baix totes les operacions de S, incloses les operacions auxiliars que es necessiten per a evitar quantificadors d'existència. Una subestructura és una estructura algebraica del mateix tipo que S. D'això es deduïx que, en un eixemple específic, quan es demostra la clausura, no és necessari comprovar els axioma per a demostrar que una subestructura és una estructura del mateix tipo.

Donat un subconjunt X d'una estructura algebraica S, el tancament de X és la subestructura més chicoteta de S que es tanca baix totes les operacions de S. En el context de les estructures algebraiques, esta clausura generalment es denomina subestructura "generada" o "compresa" per X, i es diu que X és un conjunt generador de la subestructura.

Per eixemple, un grup és un conjunt en un operació associativa, a sovint cridada multiplicació, en un element neutre, de modo que cada element té un element simètric. Ací, les operacions auxiliars són l'operació aridad que dona com resultat l'element d'identitat i l'operació unaria d'inversió. Un subconjunt d'un grup que està tancat baix multiplicació i inversió també està tancat baix l'operació nula (és dir, conté l'identitat) si i solament si no està buit. Llavors, un subconjunt no buit d'un grup que està tancat baix la multiplicació i l'inversió és un grup que es pot denominar subgrup. El subgrup generat per un sol element, és dir, el tancament d'este element, es diu grup cíclico.

En àlgebra llineal, el tancament d'un subconjunt no buit d'un espai vectorial (baixe les operacions de l'espai vectorial, és dir, la suma i la multiplicació escalar) és el sistema generador d'este subconjunt. És un espai vectorial pel resultat general anterior, i es pot demostrar fàcilment que és el conjunt de les combinacions llineals dels elements del subconjunt.

Es poden donar eixemples similars para casi totes les estructures algebraiques, a voltes en alguna terminologia específica. Per eixemple, en un anell conmutativo, el tancament d'un sol element baix les operacions d'un ideal es diu ideal principal.

En topología

En topología i branques de la matemàtica afins, l'operació rellevant és l'establiment de contorns. La clausura topològica d'un conjunt és l'operador de tancament corresponent. Els axioma de tancament de Kuratowski caracterisen a este operador.