Quantificador universal

Archiu:Universal-quantification.svg

Quantificador universal

En llògica, s'usa el símbol $\mathrm{\forall }$, denominat quantificador universal, antepost a una variable per a dir que "per a tot" element d'un cert conjunt es complix la proposició donada a continuació.

$\mathrm{\forall }x\in B$

Eixemple

Archiu:Conjuntos 04.svg

Si tenim dos conjunts diferents A i B, i A és un subconjunt de B:

$A\subset B\wedge A\ne B\wedge A\ne \varnothing$

Tot element x de A pertany a B:

$\mathrm{\forall }x\in A\Rightarrow x\in B$

Al ser A i B conjunts diferents com indica el diagrama, podem dir que no tots els elements i de B pertanyen a A, sent açò una garantia suficient per a que dos conjunts qualssevol puguen ser diferents:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }y\in B:y\in A$

És dir: no per a tot element i de B es complix que i també pertanyga a A.

Relació quantificador universal i el quantificador existencial

Donada una expressió P(x), segons el quantificador universal es pot transformar en una atra equivalent en el quantificador existencial:

$\mathrm{\forall }xP(x)\iff \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }P(x)$

que podríem llegir: si para tot x es complix P(x) no existix un x que no complixca P(x).

Segons l'eixemple anterior:

$\mathrm{\forall }x\in A:x\in B$

Per a tot x que pertany a A, es complix que x pertany a B. Que podem expressar:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x\in A:x\notin B$

No existix un x de A, que complixca que x no estiga en B.

Vore també

• quantificador existencial
• llògica de primer orde