Varietat algebraica

Una cúbica alabeada és una varietat algebraica proyectiva

En geometria algebraica, una varietat algebraica és essencialment un conjunt de punts (finito o infinit) en els quals un polinomi (d'una o més variables) pren un valor zero, o en el qual un conjunt de tals polinomis pren un valor zero. Les varietats algebraiques són un dels objectes centrals d'estudi de la geometria algebraica clàssica (i en certs aspectes moderna).

Des d'un punt de vista històric, el teorema fonamental de l'àlgebra va establir la relació entre l'àlgebra i la geometria en indicar que un polinomi d'una variable en els número complejo queda determinat pel seu conjunt de raïls, que és un objecte geomètric inherent. Construint sobre este resultat, el Teorema dels zeros de Hilbert establix una correspondència fonamental entre els ideals dels anells de polinomis i els subconjunts del espai afí. Utilisant la teorema de zeros i els seus resultats associats, és possible capturar la noció geomètrica d'una varietat en térmens algebraics com també fer que la geometria entenga sobre temes de la teoria d'anells.

Les convencions relatives a la definició d'una varietat algebraica diferixen llaugerament. Per eixemple, algunes definicions requerixen que una varietat algebraica siga irreducible, lo que significa que no és l'unió de dos conjunts més menuts que són tancat en la topología de Zariski. Baixe esta definició, les varietats algebraiques no irreducibles es diuen conjunts algebraics. Atres convencions no requerixen irreducibilidad.

El teorema fonamental de l'àlgebra establix un víncul entre l'àlgebra i la geometria en demostrar que un polinomi mónico (un objecte algebraic) en una variable en coeficients en número complejo està determinat pel conjunt dels seus raïls (un objecte geomètric) en el pla complex. Generalisant este resultat, la teorema dels zeros de Hilbert proporciona una correspondència fonamental entre els ideals d'anells de polinomis i conjunts algebraics. Usant el Nullstellensatz i resultats relacionats, els matemàtics han establit una forta correspondència entre qüestions sobre conjunts algebraics i qüestions de teoria d'anells. Esta correspondència és una característica definitoria de la geometria algebraica.

Moltes varietats algebraiques són colectors, pero una varietat algebraica pot tindre punts singulars mentres que un colector no. Les varietats algebraiques poden caracterisar-se per la seua dimensió. Les varietats algebraiques de dimensió un es diuen curva algebraicas i les varietats algebraiques de dimensió dos es diuen superfícies algebraiques.

En el context de la teoria moderna d'esquema, una varietat algebraica sobre un camp és un esquema integral (irreducible i reduït) sobre eixe camp que el seu morfismo d'estructura està separat i és de tipo finito.

Descripció general i definicions

Una varietat afí sobre un cos algebraicamente tancat és conceptualment el tipo de varietat més fàcil de definir, lo que es farà en esta secció. Posteriorment, es poden definir varietats proyectivas i cuasi-proyectivas de forma similar. La definició més general d'una varietat s'obté juntant varietats cuasi-proyectivas més menudes. No és obvi que es puguen construir eixemples genuinamente nous de varietats d'esta manera, pero Masayoshi Nagata va donar un eixemple d'una nova varietat d'este tipo en la década de 1950.

Varietats afins

Per a un cos algebraicamente tancat $K$ i un número natural $n$ , siga $A n$ un espai afí en $K$ , identificat com $K^{n}$ per mig de l'elecció d'un sistema coordenado afí. Els polinomis $f$ en l'anell $K [x 1, ..., x n]$ es poden considerar com a funcions en valors K en $A n$ si s'evalua $f$ en els punts en $A n$ ,o siga elegint valors en K per a cada x_i. Per a cada conjunt S de polinomis en $K [x 1, ..., x n]$ , definix el lloc geomètric dels zeros Z(S) que són el conjunt de punts en $A n$ en els quals les funcions en S s'anulen simultàneament, és dir:

Z (S) = {x \in 𝐀^{n} ∣ f (x) = 0 para todo f \in S} .

Un subconjunt V de $A n$ és denominat un conjunt algebraic afí si V = Z(S) per a algun S.^[1]^{: Plantilla:R/where} Un conjunt algebraic afí no buide V es denomina irreducible si no pot ser expressat com l'unió de dos subconjunts algebraics propis.^[1]^{: Plantilla:R/where} Un conjunt algebraic afí irreducible també és cridat una varietat afí.^[1]^{: Plantilla:R/where} Molts autors usen la frase varietat afí per a referir-se a tot conjunt algebraic afí, irreducible o no^{[note 1]}

A les varietats afins se'ls pot donar una topología natural declarant que els conjunts tancats són precisament els conjunts algebraics afins. Esta topología es denomina topología de Zariski.^[1]^{: Plantilla:R/where}

Donat un subconjunt V de $A n$ , es definix I(V) com l'ideal de totes les funcions polinòmiques que s'anulen en V:

I (V) = {f \in K [x_{1}, \dots, x_{n}] ∣ f (x) = 0 para todo x \in V} .

Per a qualsevol conjunt algebraic afí V, el anell de coordenades de V és el resultat de l'anell polinòmic cocientado per este ideal.^[1]^{: Plantilla:R/where}

Varietats proyectivas i cuasi -proyectivas

Artícul principal → Varietat proyectiva.

Siga $k$ un camp tancat algebraic i siga $P n$ l'espai proyectivo -n en $k$ . Siga $f$ en $k [x 0, ..., x n]$ un polinomi homogéneu de grau d. No està ben definit per a evaluar $f$ en punts de $P n$ en coordenades homogénees. No obstant, ya que $f$ és homogéneu, lo que significa que $f (λx 0, ..., λx n) = λ d f (x 0, ..., x n)$ , té sentit preguntar-se si $f$ desapareix en un punt $[x 0 : ... : x n]$ . Per a cada conjunt S de polinomis homogéneus, definim el foc zero de S com el conjunt de punts en $P n$ en el qual les funcions en S desapareixen:

Z (S) = {x \in 𝐏^{n} ∣ f (x) = 0 for all f \in S} .

Un subconjunt V de $P n$ de denomina conjunt algebraic proyectivo si V = Z(S) per a algun S.^[1]^{: Plantilla:R/where} Un conjunt algebraic proyectivo irreducible es diu "varietat proyectiva".^[1]^{: Plantilla:R/where}

Les varietats proyectivas també conten en la topología de Zariski declarant que tots els conjunts algebraics són tancats.

Donat un subconjunt V de $P n$ , siga I(V) l'ideal generat per tots els polinomis homogéneus que desapareixen en V. Per a qualsevol conjunt algebraic proyectivo V, el anell de coordenades de V és el cocient de l'anell de polinomis per este ideal.^[1]^{: Plantilla:R/where}

Una varietat cuasi-proyectiva és un subconjunt obert de Zariski d'una varietat proyectiva. Observe's que tota varietat afí és cuasi-proyectiva.^[2] Observe's també que el complement d'un conjunt algebraic en una varietat afí és una varietat cuasi-proyectiva; en el context de les varietats afins, tal varietat cuasi-proyectiva no sol cridar-se varietat sino conjunt construible.

Varietats abstractes

En la geometria algebraica clàssica, totes les varietats eren per definició varietats cuasiproyectivas, lo que significa que eren subvariedades obertes de subvariedades tancades del espai proyectivo. Per eixemple, en el capítul 1 de Hartshorne, una varietat sobre un camp algebraicamente tancat es definix com una varietat cuasiproyectiva,^[1]^{: Plantilla:R/where} pero a partir del capítul 2, el terme varietat (també cridat varietat abstracta) es referix a un objecte més general, que localment és una varietat cuasiproyectiva, pero quan es veu com un tot no és necessàriament cuasiproyectiva; és dir, podria no tindre una incrustación en l'espai proyectivo. És dir, podria no tindre una incrustación en espai proyectivo.^[1]^{: Plantilla:R/where} Aixina, clásicamente, la definició d'una varietat algebraica requeria una incrustación en l'espai proyectivo, i esta incrustación s'utilisava per a definir la topología de la varietat i les funcions regulars de la varietat. La desventaja d'esta definició és que no totes les varietats tenen incrustaciones naturals en l'espai proyectivo. Per eixemple, baix esta definició, el producte $P 1 \times P 1$ no és una varietat fins que s'incrusta en l'espai proyectivo; açò es fa generalment per l'incrustación de Segre. No obstant, qualsevol varietat que admeta una incrustación en l'espai proyectivo admet moltes atres en compondre la incrustación en la superfície de Veronese. En conseqüència, moltes nocions que deurien ser intrínseques, com el concepte de funció regular, no ho són òbviament.

El primer intent en èxit de definir una varietat algebraica de forma abstracta, sense una incrustación, va ser realisat per André Weil. En el seu Fonaments de Geometria Algebraica, Weil va definir una varietat algebraica abstracta usant valoracions. Claude Chevalley va fer una definició d'esquema, que servia per a un propòsit similar, pero era més general. No obstant, la definició d'esquema d'Alexander Grothendieck és encara més general i ha rebut la major acceptació. En el llenguage de Grothendieck, una varietat algebraica abstracta sol definir-se com una integral, d'esquema separat i de tipo finito sobre un camp algebraicamente tancat,^[1]^{: Plantilla:R/where} encara que alguns autors abandonen la irreducibilidad o la condició de reducció o de separatividad o permeten que el camp subjacent no siga algebraicamente tancat.^{[note 2]} Les varietats algebraiques clàssiques són l'integral cuasiproyectiva separada d'esquemes de tipo finito sobre un camp algebraicamente tancat.

Existència de varietats algebraiques abstractes no-cuasiproyectivas

Un dels primers eixemples d'una varietats algebraiques no-cuasiproyectiva va ser proveït formulat per Nagata.^[3] L'eixemple de Nagat no era complet (l'anàlec de compacticidad), pero poc despuix Nagata va trobar una superfície algebraica que era completa i no-proyectiva.^[4] Des de llavors s'han trobat atres eixemples; per eixemple, és senzill construir una varietat tórica que no és cuasi-proyectiva pero sí completa.^[5]

Varietat afí

Eixemple 1

Siga $k = C$ , i A² siga l'espai afí bidimensional sobre C. Els polinomis en l'anell C[x, i] poden vore's com a funcions de valor complex en A² evaluant en els punts de A². Siga el subconjunt S de C[x, i] un únic element $f (x, i)$ :

f (x, y) = x + y - 1.

El lloc zero de $f (x, i)$ és el conjunt de punts de A² en els que esta funció desapareix: és el conjunt de tots els parells d'número complejo (x, i) tals que i = 1 - x. Açò es diu una llínea en el pla afí. En la topología clàssica, procedent de la topología sobre els número complejo, una recta complexa és un colector real de dimensió dos. Es tracta del conjunt $Z (f)$ :

Z (f) = {(x, 1 - x) \in 𝐂^{2}} .

Aixina, el subconjunt $V = Z (f)$ de A² és un conjunt algebraic. El conjunt V no és buit. És irreducible, ya que no pot escriure's com l'unió de dos subconjunts algebraics propis. Per lo tant, és una varietat algebraica afí.

Eixemple 2

Siga $k = C$ , i A² siga l'espai afí bidimensional sobre C. Els polinomis en l'anell C[x, i] poden vore's com a funcions de valor complex en A² evaluant en els punts de A². Siga el subconjunt S de C[x, i] el que continga un únic element g(x, i):

g (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1.

El lòbul zero de g(x, i) és el conjunt de punts de A² en els que esta funció desapareix, és dir, el conjunt de punts (x, i) tals que x² + i² = 1. Com a g(x, i) és un polinomi absolutament irreducible, es tracta d'una varietat algebraica. El conjunt dels seus punts reals (és dir, els punts per als que x i i són número real), es coneix com el círcul unitari; este nom també es dona a sovint a tota la varietat.

Eixemple 3

El següent eixemple no és ni una hipersuperficie, ni un espai llineal, ni un únic punt. Siga A'³ l'espai afí tridimensional sobre C'. El conjunt de punts (x, x ², x ³) per a x en C és una varietat algebraica, i més precisament una curva algebraica que no està continguda en cap pla.^{[note 3]} És la cúbica alabeada que es mostra en la figura anterior. Es pot definir per mig de les equacions

\begin{matrix} y - x^{2} & = 0 \\ z - x^{3} & = 0 \end{matrix}

La irreducibilidad d'este conjunt algebraic necessita una demostració. Una aproximació en este cas és comprovar que la proyecció (x, i, z) → (x, i) és inyectiva sobre el conjunt de les solucions i que la seua image és una curva plana irreducible.

Per a eixemples més difícils, sempre es pot donar una prova similar, pero pot implicar un càlcul difícil: primer una base de Gröbner per a calcular la dimensió, seguida d'un canvi llineal aleatori de variables (no sempre necessari); després una base de Gröbner para un atre orde monomial per a calcular la proyecció i provar que és genèricament inyectiva i que la seua image és una hipersuperficie, i finalment una factorización polinòmica per a provar la irreductibilidad de l'image.

Notes

↑ Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3
↑ Liu, Qing. Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, p. 55 Definition 2.3.47, and p. 88 Example 3.2.3
↑ Harris, p.9 ; que és irreducible s'afirma com a eixercici en Hartshorne p.7

Referències

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada Hartshorne
↑ Hartshorne, Exercise I.2.9, p.12
↑ “On the imbedding problem of abstract varieties in projective varieties” (1956). Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Séries A: Mathematics 30: 71–82. doi:10.1215/kjm/1250777138.
↑ “On the imbeddings of abstract surfaces in projective varieties” (1957). Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Séries A: Mathematics 30 (3): 231–235. doi:10.1215/kjm/1250777007.
↑ En la pàgina 65 de (1993).«Introduction to toric varieties».Princeton University Press., una nota descriu una varietat tórica completa que té un paquet de llínea no trivial; per lo que en particular, no posseïx paquet de llínea ampli.

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Variedad algebraica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[2] Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3

[4] Liu, Qing. Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, p. 55 Definition 2.3.47, and p. 88 Example 3.2.3

[8] Harris, p.9 ; que és irreducible s'afirma com a eixercici en Hartshorne p.7

[Hartshorne-1] 1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada Hartshorne

[3] Hartshorne, Exercise I.2.9, p.12

[Nagata56-5] “On the imbedding problem of abstract varieties in projective varieties” (1956). Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Séries A: Mathematics 30: 71–82. doi:10.1215/kjm/1250777138.

[Nagata57-6] “On the imbeddings of abstract surfaces in projective varieties” (1957). Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Séries A: Mathematics 30 (3): 231–235. doi:10.1215/kjm/1250777007.

[7] En la pàgina 65 de (1993).«Introduction to toric varieties».Princeton University Press., una nota descriu una varietat tórica completa que té un paquet de llínea no trivial; per lo que en particular, no posseïx paquet de llínea ampli.

[1]

Plantilla:R/where

[note 1]

[2]

[note 2]

[3]

[4]

[5]

[note 3]