Superfície de Veronese

Archiu:Steiner's Roman Surface.gif

Superfície romana, una proyecció de la superfície de Veronese en l'espai tridimensional

En matemàtiques, la superfície de Veronese és una superfície algebraica en l'espai proyectivo de cinc dimensions, i es determina per mig de la inclusió de Veronese, el embebido del pla proyectivo donat pel sistema llineal de còniques complet. Du el nom del matemàtic italià Giuseppe Veronese (1854-1917). La seua generalisació a una dimensió superior es coneix com la varietat de Veronese.

La superfície admet una incrustación en l'espai proyectivo de quatre dimensions definit per la proyecció des d'un punt general en l'espai de cinc dimensions. La seua proyecció general a l'espai proyectivo tridimensional es diu superfície de Steiner.

És objecte d'estudi en el camp del dissenye geomètric assistit per ordenador.

Definició

La superfície de Veronese és l'image de l'aplicació

$\nu :{\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^5$

donada per

$\nu :[x:y:z]\mapsto [x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy]$

a on $[x:\cdots ]$ denota coordenades homogénees. L'aplicació $\nu$ es coneix com la inclusió de Veronese.

Motivació

La superfície de Veronese sorgix naturalment en l'estudi de les còniques. Una cònica és una curva plana de grau 2, aixina definida per una equació:

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dxz+Eyz+F{z}^2=0.$

El emparejamiento entre coeficients $(A,B,C,D,E,F)$ i les variables $(x,y,z)$ representen coeficients llineals i variables quadràtiques; l'aplicació de Veronese manté els coeficients llineals i transforma els monomis en llineals. Aixina, per un punt fix $[x:y:z],$ la condició de que una cònica continga el punt és una equació llineal en els coeficients, que formalisa l'afirmació de que "passar per un punt impon una condició llineal a les còniques".

Vore també

• La superfície de Veronese és l'única varietat de Severi de dimensió 2

Bibliografia

• Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer-Verlag, Nova York. ISBN 0-387-97716-3