Anelle cocient

En teoria d'anells, branca del àlgebra abstracta, un anell cocient, anelle factor o anell de residus és l'anell que s'obté sobre el conjunt de classes d'equivalència d'un anell respecte a una relació d'equivalència $a\sim b$ donada per $a-b\in I$ a on I és qualsevol ideal bilateral quan les operacions en el conjunt de classes d'equivalència són induïdes per les operacions en l'anell original.

És important diferenciar el concepte d'anell cocient del de anells de cocients, obtinguts per un procés de localisació d'un anell.

Definició formal

Donat un anell R i un ideal bilateral de R, I. Ya que l'estructura aditiva de R és de grup abeliano, el conjunt $\overline{R}=R/I$ de classes laterals aditivas $a+I$ (en $a\in R$) adquirix l'estructura de grup abeliano (baixe l'operació grup cocient) per mig de la suma de classes laterals definida com:

$(a+I)+(b+I):=(a+b)+I$.

Este grup abeliano adquirix estructura d'anell si adicionalment es definix el producte de classes laterals com a

$(a+I)(b+I):=(ab)+I$.

.

• S'establix que el producte està unívocamente determinat, no depén de l'elecció dels representants de cada classe.

A l'estructura d'anell obtinguda en $R/I$ per mig d'este procés se li denomina anelle cocient de R entre I.