Polinomi mónico

Eixemple D'un polinomi qualsevol, com $2x^5-4x^3+6x^2-1=0$ s'obté el seu polinomi mónico dividint els seus coeficients pel coeficient del màxim exponent (en este cas, el 2 que acompanya a $x^5$)$$x^5-2x^3+3x^2-\frac{1}{2}=0.$$

En àlgebra, un polinomi mónico és un polinomi de variable única (és dir, un polinomi d'una sola variable) en el que el coeficient principal (el coeficient distint de zero del grau més alt) és igual a 1. Per lo tant, un polinomi mónico té la forma

$x^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +c_2{x}^2+c_{1}x+c_0$

També es denominen polinomis unitaris o polinomis normados.

Polinomis d'una variable

Si un polinomi té solament una variable, llavors els térmens generalment s'escriuen del grau més alt al grau més baix ("potències descendents") o del grau més baix al grau més alt ("potències ascendents"). Un polinomi d'una variable en x de grau n pren la forma general que es mostra dalt, a on

c_n ≠ 0, c_n−1, ..., c₂, c₁ i c₀

són constants, denominades coeficients del polinomi.

Ací el terme c_nxⁿ es diu el terme principal, i el seu coeficient c_n és el coeficient principal; si el coeficient principal és 1, el polinomi d'una variable es diu mónico.

Eixemples

• Polinomis quadràtics complexos

Propietats

Els polinomis mónicos presenten les propietats següents:

Multiplicativamente tancat

El conjunt de tots els polinomis mónicos (sobre un anell A dau i per a una variable donada x) es tanca baix la multiplicació, ya que el producte dels térmens principals de dos polinomis mónicos és el terme principal del seu producte. Per lo tant, els polinomis mónicos formen un semigrupo multiplicativo del anell de polinomis A [x]. En realitat, ya que la funció constant 1 és mónica, este semigrupo és inclús un monoide.

Parcialment ordenat

La restricció de la relació de divisibilidad en el conjunt de tots els polinomis mónicos (sobre l'anell donat) és un conjunt parcialment ordenat, i per lo tant fa que este conjunt siga també parcialment ordenat. La raó és que si p (x) dividix q (x) i q (x) dividix p ( x) per a dos polinomis monicos pi q , llavors pi q deuen ser iguals. La propietat corresponent no és verdadera per als polinomis en general, si l'anell conté elements unitat distints d'1.

Solucions d'equacions polinòmiques

En atres aspectes, les propietats dels polinomis mónicos i dels seus corresponents equacions algebraiques mónicas corresponents depenen de manera crucial de l'anell de coeficients A. Si A és un camp, llavors cada polinomi distint de zero p té exactament un polinomi mónico associat q; en realitat, q és p dividit en el seu coeficient principal. D'esta manera, qualsevol equació polinòmica no trivial p(x) = 0 pot ser reemplaçada per una equació mónica equivalent q(x) = 0. Per eixemple, l'equació real general de segon grau

$a{x}^2+bx+c=0$ (a on $a\ne 0$)

pot ser reemplaçada per

$x^2+px+q=0$,

posant p = b/a i q = c/a. Aixina, l'equació

$2x^2+3x+1=0$

és equivalent a l'equació mónica

$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0.$

La fòrmula general de la solució quadràtica és llavors la forma llaugerament més simplificada de:

$x=\frac{1}{2}(-p\pm \sqrt{p^2-4q}).$

Integralidad

Per un atre costat, si els coeficients no pertanyen a un cos, existixen diferències més essencials. Per eixemple, una equació polinòmica mónica en coeficients sancers no pot tindre atres solucions racionals que solucions sanceres. Aixina, l'equació

$2x^2+3x+1=0$

possiblement podria tindre alguna raïl racional, que no és un número entero (i incidentalmente té "entre atres coses" la raïl −1/2); mentres que les equacions

$x^2+5x+6=0$

i

$x^2+7x+8=0$

solament poden tindre solucions sanceres o solucions irracionals.

Les raïls del polinomi mónico en coeficients sancers es diuen sancers algebraics.

Les solucions a les equacions polinòmiques mónicas sobre un domini d'integritat són importants en la teoria d'extensions integrals i de dominis integralmente tancats, i per lo tant, també per a la teoria d'número algebraico. En general, suponga's que A és un domini integral, i també un subanillo del domini integral B. Considere's el subconjunt C de B, que consistix en eixos elements B, que satisfan equacions polinòmiques mónicas sobre A:

$C:=\{b\in B:\mathrm{\exists }p(x)\in A[x],\text{ que es mónico y tal que }p(b)=0\}.$

El conjunt C conté A, ya que qualsevol A ∈ C satisfà l'equació x - A = 0. Ademés, és possible demostrar que C està tancat per adició i multiplicació. Per lo tant, C és un subanillo de B. L'anell C es diu tancament integral de A en B; o simplement el tancament integral de A, si B és el cos de fraccions de A; i es diu que els elements de C són íntegres sobre A. Si ací $A=\mathbb{Z}$ (l'anell dels número entero) i $B=ℂ$ (el camp dels número complejo), llavors C és l'anell de número entero algebraics.

Irreducibilidad

Si p és un número primo, el número de polinomis irreducibles mónicos de grau n sobre un cos finito $GF(p)$ en elements p és igual al valor de la funció collar de N_p(n).Plantilla:Cn

Si s'elimina la restricció de ser mónico, este número es convertix en (p-1)N_p(n).

El número total de raïls d'estos polinomis irreducibles mónicos és nN_p(n). Est és el número d'elements del camp GF(p^n) (en elements p^n) que no pertanyen a cap camp més menut.

Per a p = 2, tals polinomis s'usen comunament per a generar seqüències binarias pseudoaleatorias.

Polinomis multivariable

Normalment, el terme mónico no s'ampra per a polinomis de vàries variables. No obstant, un polinomi en vàries variables pot considerar-se com un polinomi sol en "l'última" variable, pero en coeficients que són polinomis en les atres.

Açò es pot fer de vàries maneres, depenent de quin de les variables s'elegixca com "l'última". Per eixemple, el polinomi real

$p(x,y)=2x{y}^2+x^2-y^2+3x+5y-8$

és mónico, considerat com un element en R [i] [x], és dir, com un polinomi univariable en x, en coeficients que són ells mateixos polinomis univariable en i:

$p(x,y)=1\cdot x^2+(2y^2+3)\cdot x+(-y^2+5y-8)$;

pero p(x, i) no és mónico com a element en R [x] [i], per lo que el coeficient del terme de grau més alt (és dir, el coeficient de i²) esen realitat 2x − 1.

Existix una convenció alternativa, que pot ser útil, per eixemple en contexts de bases de Gröbner: un polinomi es diu mónico, si el seu coeficient principal (com a polinomi multivariable) és 1. En atres paraules, suponga's que p = p(x₁, ..., x_n) és un polinomi distint de zero en n variables, i que hi ha un orde monomial donat en el conjunt de tots els monomis ("mónicos") en estes variables, és dir, un orde total del monoide conmutativo lliure generat per x₁, ..., x_n, en l'unitat com a element més baix i respectant la multiplicació. En eixe cas, este orde definix un terme no desapareciente més alt en p, i p pot cridar-se mónico, si eixe terme té el coeficient un.

Els "polinomis mónicos multivariable" d'acort en qualsevol de les definicions compartixen algunes propietats en els polinomis mónicos "ordinaris" (univariable). Notablement, el producte de polinomis mónicos novament és mónico.

Bibliografia

• Pinter, Charles C. (2010). A Book of Abstract Algebra, Dover. ISBN 978-0486474175.